AMC 10 · 2020 · #7

쉬운 모드 학년 5

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문제

$2020$ 보다 작은 양의 정수들 중에서 다음 세 가지 조건을 모두 만족하는 수를 찾으려고 합니다.

$3$ 의 배수입니다.
짝수입니다.
완전제곱수입니다(예: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ ).

이런 수는 모두 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $2020$ 보다 작은 양의 완전제곱수 중 $3$ 의 짝수 배수인 것의 개수를 구하시오.

주어진 것: 양의 완전제곱수; $2020$ 보다 작음; 짝수 ($2$ 의 배수); $3$ 의 배수; 선택지: (A) $7$, (B) $8$, (C) $9$, (D) $10$, (E) $12$

구하는 것: 조건을 만족하는 완전제곱수의 개수

이해

문제 재정리: $2020$ 보다 작은 양의 완전제곱수 중 $3$ 의 짝수 배수인 것의 개수를 구하시오.

주어진 것: 양의 완전제곱수; $2020$ 보다 작음; 짝수 ($2$ 의 배수); $3$ 의 배수; 선택지: (A) $7$, (B) $8$, (C) $9$, (D) $10$, (E) $12$

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

도구 #9 (더 쉬운) 로 "$3$ 의 짝수 배수" 를 "$6$ 의 배수" 로 바꾼다. 도구 #2 로 후보 $6^2, 12^2, 18^2, \ldots$ 를 순서대로 나열하고 $2020$ 을 넘으면 멈춤. 도구 #5 로 패턴 $(6k)^2 = 36k^2$ 을 잡아 $k$ 의 개수만 세면 됨. 도구 #3 으로 보기와 대조.

실행 — 정답: A

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.B.4 단계 1

"$3$ 의 짝수 배수" $=$ "$2$ 의 배수이고 $3$ 의 배수" $=$ "$6$ 의 배수".
즉 $2020$ 미만의 완전제곱수 중 $6$ 의 배수인 것을 세는 문제.

$\text{짝수} \cap \text{$3$ 의 배수} = \text{$6$ 의 배수}$

💡 더 단순한 말: 그냥 $6$ 의 배수.

#5 패턴 찾기 4.OA.B.4 단계 2

$n^2$ 이 $6$ 의 배수면 $n$ 자체가 $6$ 의 배수.
이유: $6 = 2 \cdot 3$ 에서 $2$ 와 $3$ 이 소수이므로 $n^2$ 안에 들어 있다면 이미 $n$ 안에 한 번씩 들어 있어야 함.
따라서 $n = 6, 12, 18, 24, \ldots$ 에 대해 $n^2 < 2020$ 인 경우를 센다.

$$n = 6k, \quad k \in \{1, 2, 3, \ldots\}, \quad n^2 = 36k^2 < 2020$$

💡 $n^2$ 이 $6$ 의 배수 $\Rightarrow$ $n$ 도 $6$ 의 배수.

#2 빠짐없이 나열하기 5.NBT.B.5 단계 3

$n = 6k$ 에 대해 $36k^2$ 을 작은 $k$ 부터 나열, $2020$ 을 넘으면 멈춤.

$$k=1: 36,\;\; k=2: 144,\;\; k=3: 324,\;\; k=4: 576,\;\; k=5: 900,\;\; k=6: 1296,\;\; k=7: 1764,\;\; k=8: 2304$$

💡 작은 것부터 순서대로 나열.

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.A.2 단계 4

각 값을 $2020$ 과 비교.
앞 일곱 개 ($36, 144, 324, 576, 900, 1296, 1764$) 는 모두 $2020$ 미만, 여덟 번째 ($2304$) 부터는 초과.
즉 $k = 1, \ldots, 7$ 의 $7$ 개.

$$1764 < 2020 < 2304 \;\Rightarrow\; k \in \{1, 2, \ldots, 7\}$$

💡 처음 초과하는 지점에서 멈춤.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 5

$7$ 은 (A).

$$7 \Rightarrow \textbf{(A)}$$

💡 일치하는 보기 찾기.

[1] #9 4.OA.B.4 "$3$ 의 짝수 배수" $=$ "$2$ 의 배수이고 $3$ 의 배수" $=$ "$6$ 의 배수". 즉 $2020$ 미만의 완전제곱수 중 $6$

[2] #5 4.OA.B.4 $n^2$ 이 $6$ 의 배수면 $n$ 자체가 $6$ 의 배수. 이유: $6 = 2 \cdot 3$ 에서 $2$ 와 $3$ 이 소수이므로 $n^

[3] #2 5.NBT.B.5 $n = 6k$ 에 대해 $36k^2$ 을 작은 $k$ 부터 나열, $2020$ 을 넘으면 멈춤.

[4] #2 4.NBT.A.2 각 값을 $2020$ 과 비교. 앞 일곱 개 ($36, 144, 324, 576, 900, 1296, 1764$) 는 모두 $2020$ 미만,

[5] #3 4.NBT.A.2 $7$ 은 (A).

검토

합리성 확인: 경계로 빠르게 확인: $36k^2 < 2020 \iff k^2 < 56.\overline{1} \iff k \leq 7$ ($7^2 = 49 < 56$ 이고 $8^2 = 64 > 56$). 따라서 $k$ 는 $1, 2, \ldots, 7$ 의 $7$ 개. ✓ 나열한 $36, 144, 324, 576, 900, 1296, 1764$ 은 모두 짝수 (끝자리 짝수), 모두 $3$ 의 배수 (각자릿수 합 $9, 9, 9, 18, 9, 18, 18$), 모두 $2020$ 미만. ✓

대안 접근: 도구 #16 (관점 바꾸기): $n = 6k$ 로 만들지 않고 $2020$ 미만 완전제곱수 $1, 4, 9, \ldots, 1936$ ($n = 1, \ldots, 44$) 을 전부 두고 그 중 $n$ 이 $6$ 의 배수인 것만 ($n = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42$ — $48 > 44$) 골라도 같은 $7$ 개.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.OA.B.4 약수·배수 짝 찾기, 소수·합성수 판별 ("$2$ 의 배수" 와 "$3$ 의 배수" 를 "$6$ 의 배수" 로 묶고, $n^2$ 안의 소인수는 $n$ 에도 들어 있다는 성질 사용.)
5.NBT.B.5 여러 자리 자연수의 곱셈 (후보 제곱수 $36 \cdot k^2$ 을 $k = 1, \ldots, 8$ ($36 \cdot 64 = 2304$) 까지 계산.)
4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰고 비교하기 (각 제곱수를 $2020$ 과 비교하고 최종 개수 $7$ 을 (A) 와 매칭.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 곱셈과 배수만 알면 풀 수 있어요 — "$3$ 의 짝수 배수" 는 "$6$ 의 배수" 와 같으니, $(6 \cdot 1)^2, (6 \cdot 2)^2, \ldots$ 을 $2020$ 까지 나열. 일곱 개 ($36, 144, 324, 576, 900, 1296, 1764$) 가 들어가고 여덟 번째 ($2304$) 부터 초과 — 답은 $7$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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