AMC 10 · 2022 · #1

쉬운 모드 학년 5

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문제

세 층으로 쌓인 분수를 떠올려 봅시다. 각 층은 "3 더하기, 1을 다음 층으로 나눈 값" 모양이에요. 가장 아래층은 $3 + \frac{1}{3}$ 입니다.

그래서 전체 식은 다음과 같습니다. $3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{3}}}.$

이 식의 값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{31}{10}$

(B)

$\frac{49}{15}$

(C)

$\frac{33}{10}$

(D)

$\frac{109}{33}$

(E)

$\frac{15}{4}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 3중 연분수 $3+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{3+\frac{1}{3}}}$ 의 값을 구해 다섯 선택지 중 하나와 일치시키세요.

주어진 것: 세 겹으로 쌓인 연분수 — 각 층이 $3 + \dfrac{1}{\square}$ 모양; 가장 안쪽 층은 $3 + \dfrac{1}{3}$; 선택지: (A) $\dfrac{31}{10}$, (B) $\dfrac{49}{15}$, (C) $\dfrac{33}{10}$, (D) $\dfrac{109}{33}$, (E) $\dfrac{15}{4}$

구하는 것: 전체 연분수의 정확한 값을 하나의 분수로

이해

문제 재정리: 3중 연분수 $3+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{3+\frac{1}{3}}}$ 의 값을 구해 다섯 선택지 중 하나와 일치시키세요.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #11 거꾸로 풀기

표현식이 세 겹으로 겹쳐 있어 왼쪽에서 오른쪽으로 풀 수 없습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)는 거대한 분수를 똑같은 세 개의 작은 일 — "이미 아는 값을 $\square$ 에 넣어 $3 + \dfrac{1}{\square}$ 계산하기" — 로 나눠 줍니다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 출발점을 알려 줍니다 — 가장 깊은 층에서 시작해 바깥으로 올라가며 방금 구한 값을 다음 $\square$ 에 넣는 것. 미지수가 없으니 대수(#13)는 과합니다 — 겹친 구조 자체가 길을 보여 줍니다.

실행 — 정답: D

#11 거꾸로 풀기 5.NF.A.1 단계 1

가장 안쪽 층 $3 + \dfrac{1}{3}$ 을 계산.
$3$ 을 $\dfrac{9}{3}$ 로 바꿔 공통 분모를 만든 뒤 더합니다.

$$3 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{9}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{10}{3}$$

💡 자연수와 단위분수의 덧셈 — $3$ 을 $\dfrac{9}{3}$ 로 바꿔 더하는 5학년 "다른 분모" 표준 그대로.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.3 단계 2

가장 안쪽 $\square$ 에 $\dfrac{10}{3}$ 을 대입.
중간 층은 $3 + \dfrac{1}{10/3}$.
$1$ 을 $\dfrac{10}{3}$ 으로 나누는 것은 그 역수를 곱하는 것 — 따라서 $\dfrac{1}{10/3} = \dfrac{3}{10}$.

$$\dfrac{1}{\,10/3\,} = 1 \div \dfrac{10}{3} = 1 \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{3}{10}$$

💡 "$1$ 을 분수로 나누기" 는 분수를 뒤집는 것과 같음 — 분수를 나눗셈으로 읽는 5학년 사고.

#11 거꾸로 풀기 5.NF.A.1 단계 3

중간 층을 마무리: $3 + \dfrac{3}{10}$.
$3$ 을 $\dfrac{30}{10}$ 으로 다시 쓰고 더합니다.

$$3 + \dfrac{3}{10} = \dfrac{30}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{33}{10}$$

💡 똑같은 5학년 "공통 분모" 기법 — 중간 층이 깔끔한 분수로 정리됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 4

바깥 층으로 올라가 $\square$ 에 $\dfrac{33}{10}$ 을 대입.
뒤집으면 $\dfrac{1}{33/10} = \dfrac{10}{33}$, 이를 $3 = \dfrac{99}{33}$ 에 더합니다.

$$3 + \dfrac{10}{33} = \dfrac{99}{33} + \dfrac{10}{33} = \dfrac{109}{33} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 마지막 한 번 "뒤집고 공통 분모로 더하기" 로 등반 완료 — 처음부터 끝까지 5학년 분수 작업.

[1] #11 5.NF.A.1 가장 안쪽 층 $3 + \dfrac{1}{3}$ 을 계산. $3$ 을 $\dfrac{9}{3}$ 로 바꿔 공통 분모를 만든 뒤 더합니다.

[2] #7 5.NF.B.3 가장 안쪽 $\square$ 에 $\dfrac{10}{3}$ 을 대입. 중간 층은 $3 + \dfrac{1}{10/3}$. $1$ 을 $\dfr

[3] #11 5.NF.A.1 중간 층을 마무리: $3 + \dfrac{3}{10}$. $3$ 을 $\dfrac{30}{10}$ 으로 다시 쓰고 더합니다.

[4] #7 5.NF.A.1 바깥 층으로 올라가 $\square$ 에 $\dfrac{33}{10}$ 을 대입. 뒤집으면 $\dfrac{1}{33/10} = \dfrac{10

검토

합리성 확인: 크기 점검. 각 층이 대략 "$3 + \dfrac{1}{3\text{ 보다 조금 큰 수}}$" 이므로 전체 값은 $3$ 보다 살짝 크고 $4$ 보다는 한참 작아야 합니다. $\dfrac{109}{33} \approx 3.303$ 이 딱 그 범위에 들어옵니다. 선택지 (C) $\dfrac{33}{10} = 3.3$ 은 중간 층의 값(한 단계 일찍 멈춘 함정), (D) 가 진짜 바깥 층 값으로 정답과 일치.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) + 소수 어림. 각 선택지의 소수값: (A) $3.1$, (B) $\approx 3.27$, (C) $3.3$, (D) $\approx 3.303$, (E) $3.75$. 머릿속으로 빠르게 — 안쪽 $\approx 3.33$, 중간 $\approx 3 + 1/3.33 \approx 3.3$, 바깥 $\approx 3 + 1/3.3 \approx 3.303$ — (D) 로 곧장 떨어집니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 (각 층에서 $3 + \dfrac{1}{3}$, $3 + \dfrac{3}{10}$, $3 + \dfrac{10}{33}$ 을 자연수에 알맞은 공통 분모를 붙여 더하는 데 사용.)
5.NF.B.3 분수를 분자÷분모로 해석하기 ($\dfrac{1}{10/3}$ 을 $1 \div \dfrac{10}{3} = \dfrac{3}{10}$ 으로 읽는 각 층의 "뒤집기" 단계.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 "분모 다른 분수 더하기 + 분수 뒤집기" 만 알면 풀 수 있어요 — 가장 안쪽 $\dfrac{1}{3}$ 부터 한 층씩 바깥으로 올라가면 끝!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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