AMC 10 · 2022 · #6
쉬운 모드 학년 5문제
다음 수들의 나열을 봅시다:
각 수는 가운데에 가 하나 있고, 그 양쪽에 같은 개수의 이 붙어 있어요. 첫 번째 수는 양쪽에 이 한 개씩 있습니다. 두 번째 수는 양쪽에 이 두 개씩 있고요. 세 번째 수는 세 개씩, 이런 식으로 계속 늘어납니다.
이 나열의 첫 열 개의 수 중에서, 소수는 몇 개일까요?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 수열 $121, 11211, 1112111, \ldots$ — $n$번째 항은 $1$이 $n$개, 가운데 $2$ 하나, 그리고 다시 $1$이 $n$개로 이루어진 수입니다. 처음 열 항 가운데 소수는 몇 개일까요?
주어진 것: 처음 세 항: $a_1 = 121$, $a_2 = 11211$, $a_3 = 1112111$; $a_n$ 은 $1$ 이 $n$ 개, $2$ 하나, 다시 $1$ 이 $n$ 개; 확인 범위: $n = 1$ 부터 $n = 10$ 까지; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$
구하는 것: $a_1, a_2, \ldots, a_{10}$ 중 소수의 개수
이해
문제 재정리: 수열 $121, 11211, 1112111, \ldots$ — $n$번째 항은 $1$이 $n$개, 가운데 $2$ 하나, 그리고 다시 $1$이 $n$개로 이루어진 수입니다. 처음 열 항 가운데 소수는 몇 개일까요?
주어진 것: 처음 세 항: $a_1 = 121$, $a_2 = 11211$, $a_3 = 1112111$; $a_n$ 은 $1$ 이 $n$ 개, $2$ 하나, 다시 $1$ 이 $n$ 개; 확인 범위: $n = 1$ 부터 $n = 10$ 까지; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기
$a_{10}$ 을 일일이 계산해 소수 판정하는 것은 21자리 수라 사실상 불가능. 도구 #9(더 쉬운 문제)로 $n=1, 2, 3$ 작은 경우부터 — 공통된 구조가 보임. 도구 #5(패턴 찾기)로 매 경우 같은 모양의 분해 ($1$들의 묶음을 자릿수만 옮긴 합)임을 일반화. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 '소수인가'라는 질문을 '인수분해 가능한가 + 두 인수가 모두 $1$보다 큰가' 두 부분으로 분리. 두 인수가 항상 $1$ 보다 크면 어떤 항도 소수가 아님.
실행 — 정답: A
4.OA.B.4 단계 1 - 가장 작은 경우부터.
- $a_1 = 121 = 110 + 11 = 11 \cdot 10 + 11 = 11 \cdot (10 + 1) = 11 \cdot 11$.
- $a_1$ 은 이미 $11 \times 11$ 로 분해됨 — 합성수.
💡 두 약수 쌍을 찾으면 소수가 아님을 보이는 4학년 방법 그대로.
4.NBT.B.5 단계 2 - $n=2$ 시도.
- $a_2 = 11211 = 11100 + 111 = 111 \cdot 100 + 111 = 111 \cdot (100 + 1) = 111 \cdot 101$.
- 같은 모양 — $1$ 의 묶음 곱하기 $1\underbrace{0\cdots0}1$.
💡 가운데 $2$ 자리에서 가르면 $10$ 의 거듭제곱 곱셈으로 깔끔히 떨어짐.
4.OA.C.5 단계 3 - $n=3$ 으로 한 번 더 확인.
- $a_3 = 1112111 = 1111000 + 1111 = 1111 \cdot 1000 + 1111 = 1111 \cdot 1001$.
- 같은 구조가 세 번째 등장.
💡 맞아떨어지는 경우 세 개면 규칙으로 받아들이고 일반식을 쓸 차례.
5.NBT.A.2 단계 4 - 패턴을 말로 — $a_n$ 은 ($n+1$ 개의 $1$ 로 된 수) × ($1$, $0$ 이 $n-1$ 개, 다시 $1$).
- 앞 인수를 $R_{n+1}$, 뒷 인수를 $10^n + 1$ 이라 두면 $a_n = R_{n+1} \cdot (10^n + 1)$.
💡 $10^n$ 을 곱하는 것은 자릿수를 $n$ 칸 왼쪽으로 옮기는 것과 같음.
5.OA.A.2 단계 5 - $n = 1$ 부터 $10$ 까지 두 인수 검토.
- 앞 인수 $R_{n+1}$ 은 $1$ 이 두 개 이상 ($n+1 \ge 2$) 이라 $R_{n+1} \ge 11 > 1$.
- 뒷 인수 $10^n + 1$ 은 최소 $10 + 1 = 11 > 1$.
💡 두 인수가 모두 $1$ 보다 크면 그 곱은 $1$ 과 자기 자신 말고도 약수를 가짐.
4.OA.B.4 단계 6 - 결론 — $n = 1, 2, \ldots, 10$ 모든 경우 $a_n$ 은 $1$ 보다 큰 두 정수의 곱, 즉 모두 합성수.
- 처음 열 항 중 소수는 $0$ 개.
- 답 (A).
💡 두 인수가 모두 $1$ 보다 크다는 사실만으로 소수 가능성이 사라짐.
4.OA.B.4 가장 작은 경우부터. $a_1 = 121 = 110 + 11 = 11 \cdot 10 + 11 = 11 \cdot (10 + 1) = 11 \c 4.NBT.B.5 $n=2$ 시도. $a_2 = 11211 = 11100 + 111 = 111 \cdot 100 + 111 = 111 \cdot (100 + 1) 4.OA.C.5 $n=3$ 으로 한 번 더 확인. $a_3 = 1112111 = 1111000 + 1111 = 1111 \cdot 1000 + 1111 = 11 5.NBT.A.2 패턴을 말로 — $a_n$ 은 ($n+1$ 개의 $1$ 로 된 수) × ($1$, $0$ 이 $n-1$ 개, 다시 $1$). 앞 인수를 $R_{ 5.OA.A.2 $n = 1$ 부터 $10$ 까지 두 인수 검토. 앞 인수 $R_{n+1}$ 은 $1$ 이 두 개 이상 ($n+1 \ge 2$) 이라 $R_{n 4.OA.B.4 결론 — $n = 1, 2, \ldots, 10$ 모든 경우 $a_n$ 은 $1$ 보다 큰 두 정수의 곱, 즉 모두 합성수. 처음 열 항 중 소 검토
합리성 확인: 검산 — $n=1$: $11 \cdot 11 = 121$ ✓. $n=2$: $111 \cdot 101 = 11211$ ✓. $n=3$: $1111 \cdot 1001 = 1112111$ ✓. 세 경우에서 분해가 맞고, 모든 $n \ge 1$ 에서 $R_{n+1} \ge 11$, $10^n + 1 \ge 11$ 이 성립하므로 $n = 10$ 까지 예외 없이 결론이 적용. 다른 보기 $1, 2, 3, 4$ 는 어떤 특정 $n$ 에서 인수분해가 깨져야 가능한데 깨지지 않음.
대안 접근: 도구 #6(추측·확인)으로 작은 경우 직접 소수 판정 — $a_1 = 121 = 11^2$ (합성수), $a_2 = 11211$ 은 각 자리수 합이 $1+1+2+1+1=6$ 이라 $3$ 의 배수(합성수), $a_3 = 1112111 \div 11 = 101101$ 이라 합성수. 세 번 연속 합성수가 나오면 모든 항이 합성수일 것이라 의심하고 일반 인수분해를 찾게 됨 — 결국 위 풀이로 수렴. 경우별 확인만으로는 $a_{10}$ 까지 보장이 안 됨.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
4.OA.B.4모든 약수 쌍 찾고 배수 인식하기, 소수/합성수 판별 ($1$ 보다 큰 두 정수의 곱이면 합성수라는 정의를 사용.)4.NBT.B.5네 자리 이하 자연수에 한 자리 자연수 곱하기 ($111 \cdot 101 = 11211$ 같은 작은 경우 검산.)4.OA.C.5주어진 규칙을 따르는 수/도형 패턴 만들기 (세 작은 경우에서 같은 분해 규칙을 확인 후 일반화.)5.NBT.A.2$0$ 의 개수·소수점 위치 패턴 설명 ($10^n$ 곱셈을 자릿수 $n$ 칸 이동으로 읽기.)5.OA.A.2계산을 기록하는 간단한 식 쓰기 (일반 인수분해 $a_n = R_{n+1} \cdot (10^n + 1)$ 을 식으로 표현.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 자릿값과 약수 쌍만 알면 풀 수 있어요 — 가운데 $2$ 에서 수를 가르면 $1$ 들의 묶음을 공통으로 뽑아낼 수 있고, 열 항 모두 $1$ 보다 큰 두 수의 곱이라 소수가 하나도 없습니다.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 자릿값과 약수 쌍만 알면 풀 수 있어요 — 가운데 $2$ 에서 수를 가르면 $1$ 들의 묶음을 공통으로 뽑아낼 수 있고, 열 항 모두 $1$ 보다 큰 두 수의 곱이라 소수가 하나도 없습니다.