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AMC 10 · 2024 · #23

쉬운 모드 학년 5
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문제

피보나치 수열은 F1=1F_1 = 1, F2=1F_2 = 1 로 시작해요. 그 다음부터는 바로 앞 두 수를 더한 값이 다음 수가 됩니다. 그러니까 F3=F2+F1F_3 = F_2 + F_1, F4=F3+F2F_4 = F_3 + F_2 이런 식이에요.

이제 분수 10개를 더해보려고 합니다. 각 분수는 F2nFn\dfrac{F_{2n}}{F_n} 모양이고, nn 은 11부터 1010까지예요.

이 합의 값은 얼마일까요?

F2F1+F4F2+F6F3+⋯+F20F10{\frac{F_2}{F_1}} + {\frac{F_4}{F_2}} + {\frac{F_6}{F_3}} + \dots + {\frac{F_{20}}{F_{10}}}

(A) 318(B) 319(C) 320(D) 321(E) 322\textbf{(A) } 318 \qquad\textbf{(B) } 319 \qquad\textbf{(C) } 320 \qquad\textbf{(D) } 321 \qquad\textbf{(E) } 322

답을 골라 클릭하세요.

(A)
318
(B)
319
(C)
320
(D)
321
(E)
322
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 피보나치 수열은 $F_1 = 1, F_2 = 1, F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ ($n \ge 3$) 로 정의됩니다. 합 $\dfrac{F_2}{F_1} + \dfrac{F_4}{F_2} + \dfrac{F_6}{F_3} + \dots + \dfrac{F_{20}}{F_{10}}$, 즉 $\sum_{n=1}^{10} \dfrac{F_{2n}}{F_n}$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: $F_1 = F_2 = 1$; 점화식 $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ ($n \ge 3$); 합은 $10$ 개 항: $n = 1, 2, \dots, 10$; 각 항 $a_n = F_{2n}/F_n$; 선택지: (A) $318$, (B) $319$, (C) $320$, (D) $321$, (E) $322$

구하는 것: 합 $S = a_1 + a_2 + \dots + a_{10}$

이해

문제 재정리: 피보나치 수열은 $F_1 = 1, F_2 = 1, F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ ($n \ge 3$) 로 정의됩니다. 합 $\dfrac{F_2}{F_1} + \dfrac{F_4}{F_2} + \dfrac{F_6}{F_3} + \dots + \dfrac{F_{20}}{F_{10}}$, 즉 $\sum_{n=1}^{10} \dfrac{F_{2n}}{F_n}$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: $F_1 = F_2 = 1$; 점화식 $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ ($n \ge 3$); 합은 $10$ 개 항: $n = 1, 2, \dots, 10$; 각 항 $a_n = F_{2n}/F_n$; 선택지: (A) $318$, (B) $319$, (C) $320$, (D) $321$, (E) $322$

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

문제는 정의가 분명한 유한합 ($10$ 개 비율) 입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 주축: $F_1, \dots, F_{20}$ 을 차례로 나열한 뒤 $10$ 개 비율을 나열. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 시작점 — 처음 서너 항을 직접 계산해 보면 $1, 3, 4, 7, \dots$ 처럼 정수입니다. 도구 #5(패턴 찾기)가 이 정수들이 피보나치식 점화 ($a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$, $1, 3$ 으로 시작) 를 따른다는 사실을 알려 줘, 나머지는 큰 피보나치 수를 나누는 대신 덧셈만으로 확장합니다. 정수 $10$ 개를 손에 쥐면 답은 신중한 덧셈 한 번.

실행 — 정답: B

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 1
  • 피보나치 수 $F_1$ 부터 $F_{20}$ 까지 차례로 나열.
  • 각 항은 앞 두 항의 합.
$$F_1, F_2, \dots, F_{20} = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765$$

💡 4학년 "규칙에 따라 수 패턴 만들기" — $1, 1$ 에서 시작해 더해 가기.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NF.B.3 단계 2
  • 비율 $a_n = F_{2n}/F_n$ 의 처음 다섯 항을 직접 계산.
  • $a_1 = F_2/F_1 = 1/1 = 1$, $a_2 = F_4/F_2 = 3/1 = 3$, $a_3 = F_6/F_3 = 8/2 = 4$, $a_4 = F_8/F_4 = 21/3 = 7$, $a_5 = F_{10}/F_5 = 55/5 = 11$.
  • 결과: $1, 3, 4, 7, 11$.
$$a_1 = 1, \; a_2 = 3, \; a_3 = 4, \; a_4 = 7, \; a_5 = 11$$

💡 5학년 "분수 = 나눗셈" — $F_n$ 이 $F_{2n}$ 의 약수라 비율이 깔끔한 정수.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3
  • 패턴을 포착.
  • $4 = 1 + 3, \; 7 = 3 + 4, \; 11 = 4 + 7$.
  • 수열 $a_n$ 은 피보나치와 같은 점화 — 시작이 $1, 3$ 일 뿐.
  • (이름은 루카스 수이지만 이름 몰라도 덧셈 규칙으로 충분.) 검증: $a_6 = 7 + 11 = 18$ 이어야 하고, 실제 $F_{12}/F_6 = 144/8 = 18$.
  • 패턴 확인 완료.
$$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\; (n \ge 3), \quad a_1 = 1, a_2 = 3$$

💡 4학년 수 패턴: 네다섯 항 계산 → 추측 → 한 항 더로 검증. "$4 = 1 + 3, 7 = 3 + 4$" 가 결정적 신호.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 4
  • 덧셈으로 나머지 다섯 비율을 채웁니다.
  • $a_6 = 7 + 11 = 18$, $a_7 = 11 + 18 = 29$, $a_8 = 18 + 29 = 47$, $a_9 = 29 + 47 = 76$, $a_{10} = 47 + 76 = 123$.
  • (확인: $F_{20}/F_{10} = 6765/55 = 123$, 일치.)
$$a_6, a_7, a_8, a_9, a_{10} = 18, 29, 47, 76, 123$$

💡 4학년 패턴 확장 덧셈 다섯 번이 큰 피보나치 나눗셈 다섯 번을 대체.

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.B.4 단계 5
  • $10$ 개 비율을 차근차근 합산.
  • 작은 쪽부터 부분합: $1 + 3 = 4$, $4 + 4 = 8$, $8 + 7 = 15$, $15 + 11 = 26$, $26 + 18 = 44$, $44 + 29 = 73$, $73 + 47 = 120$, $120 + 76 = 196$, $196 + 123 = 319$.
  • 따라서 $S = 319$.
$$S = 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 18 + 29 + 47 + 76 + 123 = 319 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 4학년 표준 덧셈 — 부분합이 안정적으로 자라가는지 확인하며 진행.

[1] #2 4.OA.C.5 피보나치 수 $F_1$ 부터 $F_{20}$ 까지 차례로 나열. 각 항은 앞 두 항의 합.
[2] #9 5.NF.B.3 비율 $a_n = F_{2n}/F_n$ 의 처음 다섯 항을 직접 계산. $a_1 = F_2/F_1 = 1/1 = 1$, $a_2 = F_4/F_
[3] #5 4.OA.C.5 패턴을 포착. $4 = 1 + 3, \; 7 = 3 + 4, \; 11 = 4 + 7$. 수열 $a_n$ 은 피보나치와 같은 점화 — 시작이 $
[4] #2 4.OA.C.5 덧셈으로 나머지 다섯 비율을 채웁니다. $a_6 = 7 + 11 = 18$, $a_7 = 11 + 18 = 29$, $a_8 = 18 + 29
[5] #2 4.NBT.B.4 $10$ 개 비율을 차근차근 합산. 작은 쪽부터 부분합: $1 + 3 = 4$, $4 + 4 = 8$, $8 + 7 = 15$, $15 + 11

검토

합리성 확인: 두 가지 확인. (1) 크기 — 가장 큰 항 $a_{10} = 123$, 두 번째로 큰 $a_9 = 76$ 이므로 합은 적어도 $123 + 76 = 199$, 많아야 $10 \cdot 123 = 1230$. $319$ ($\approx 123 \cdot 2.6$) 는 그 범위 안에 자연스럽게 들어옴. (2) 점화식 활용 — 루카스식 합에는 닫힌 형태 $a_1 + a_2 + \dots + a_{10} = a_{12} - 3$ 이 성립. 같은 점화로 $a_{11} = 76 + 123 = 199$, $a_{12} = 123 + 199 = 322$ → $322 - 3 = 319$. 무료 검증이 일치. 인접 오답 $318, 320, 321, 322$ 는 모두 "한두 칸 빗나간" 산수 함정인데 이 재유도로 모두 배제됩니다.

대안 접근: 도구 #14(점화식을 망원경합으로 활용). 항등식 $F_{2n} = F_n L_n$ ($L_n$ 은 루카스 수) 과 $\sum_{n=1}^{N} L_n = L_{N+2} - 3$ 을 알고 있다면, 같은 $1, 3, 4, 7, \dots, 199, 322$ 목록에서 $L_{12} = 322$ 로 $S = 322 - 3 = 319$ 한 줄. 하지만 우리가 쓴 "나열-덧셈" 경로는 항등식을 외울 필요가 없습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

  • 4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴을 만들고, 규칙에서 드러나지 않은 패턴 특징을 식별하기 (피보나치 규칙으로 $F_1, \dots, F_{20}$ 을 만들고, $a_n = F_{2n}/F_n$ 이 $1, 3$ 에서 시작하는 같은 덧셈 규칙을 따른다는 사실을 포착·확장.)
  • 5.NF.B.3 분수를 분자÷분모로 해석하기; 자연수 나눗셈으로 분수·대분수 답이 나오는 문제 풀기 ($F_{2n}/F_n$ 을 그대로 나눗셈으로 보고 $a_1 = 1, a_2 = 3, a_3 = 4, a_4 = 7, a_5 = 11$ — 모두 정수.)
  • 4.NBT.B.4 표준 알고리즘으로 여러 자리 수의 덧셈·뺄셈 능숙하게 하기 (비율 $10$ 개를 작은 부분합으로 차례로 더해 $1 + 3 + 4 + \dots + 123 = 319$.)

⭐ 겁나 보이는 피보나치 비율도 처음 몇 개를 직접 나눠 보면 $1, 3, 4, 7, 11$ — 그 다음은 그냥 덧셈으로 $123$ 까지 이어지고, $10$ 개 합 $319$. 5학년 나눗셈과 4학년 수 패턴 규칙만으로 충분.

⭐ 겁나 보이는 피보나치 비율도 처음 몇 개를 직접 나눠 보면 $1, 3, 4, 7, 11$ — 그 다음은 그냥 덧셈으로 $123$ 까지 이어지고, $10$ 개 합 $319$. 5학년 나눗셈과 4학년 수 패턴 규칙만으로 충분.

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