AMC 8 · 2004 · #13

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문제

에이미, 빌, 셀린은 세 친구이고, 셋의 나이는 모두 달라요.

이 세 명에 대해 다음과 같은 세 문장이 있습니다:

I. 빌이 가장 나이가 많다.
II. 에이미는 가장 나이가 많지 않다.
III. 셀린은 가장 어리지 않다.

이 세 문장 중에서 정확히 하나만 참이에요. 나머지 두 문장은 거짓입니다.

세 친구를 나이가 많은 순서대로 나열하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Bill, Amy, Celine

(B)

Amy, Bill, Celine

(C)

Celine, Amy, Bill

(D)

Celine, Bill, Amy

(E)

Amy, Celine, Bill

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 에이미, 빌, 셀린의 나이는 모두 다릅니다. 세 문장 — (I) 빌이 가장 나이가 많다, (II) 에이미는 가장 나이가 많지 않다, (III) 셀린은 가장 어리지 않다 — 중에서 정확히 하나만 참이고 나머지 둘은 거짓입니다. 세 사람을 나이가 많은 순서대로 나열하세요.

주어진 것: 세 사람의 나이는 모두 다르다; 문장 I: 빌이 가장 나이가 많다; 문장 II: 에이미는 가장 나이가 많지 않다; 문장 III: 셀린은 가장 어리지 않다; 셋 중 정확히 하나만 참, 나머지 둘은 거짓이다; 선택지는 다섯 가지 나이 순서를 제시한다

구하는 것: 에이미, 빌, 셀린을 나이가 많은 순서대로 나열한 결과

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

참인 문장이 I, II, III 중 어느 것인지에 따라 가능한 경우가 딱 세 가지입니다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 각 경우를 검토해 모순이 나오는 경우를 지웁니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 경우 분석을 깔끔하게 정리해 주죠 — 각 경우에서 "가장 나이가 많은 사람"과 "가장 어린 사람"이 누구인지 적어 두고 충돌이 없는지 확인합니다. 살아남는 경우가 정답입니다. 대수는 필요 없고, 신중한 비교만 있으면 됩니다.

실행 — 정답: E

#3 가능성 지우기 K.MD.A.2 단계 1

경우 1: 문장 I("빌이 가장 나이가 많다")이 참이라고 가정합니다.
그러면 II와 III는 둘 다 거짓이어야 합니다.
II("에이미는 가장 나이가 많지 않다")의 부정은 "에이미가 가장 나이가 많다"입니다.
하지만 문장 I은 이미 빌이 가장 나이가 많다고 합니다.
서로 다른 두 사람이 동시에 가장 나이가 많을 수는 없으므로, 이 경우는 불가능합니다.

$$\text{I 참} \Rightarrow \text{II 거짓} \Rightarrow \text{에이미가 최고령} \;\text{그리고}\; \text{빌이 최고령} \;\text{— 모순}$$

💡 두 사람이 동시에 가장 나이가 많을 수 없다는 것은 "누가 더 나이가 많은가"를 비교하는 유치원 수준의 비교입니다.

#3 가능성 지우기 K.MD.A.2 단계 2

경우 2: 문장 II("에이미는 가장 나이가 많지 않다")가 참이라고 가정합니다.
그러면 I과 III는 둘 다 거짓입니다.
II가 참이므로: 에이미는 최고령이 아닙니다.
I이 거짓이므로: 빌도 최고령이 아닙니다.
따라서 최고령은 셀린이어야 합니다.
그런데 III가 거짓이면 "셀린이 가장 어리다"는 뜻이 됩니다.
셀린이 최고령이면서 동시에 최연소일 수는 없으므로, 이 경우도 불가능합니다.

$$\text{에이미 ≠ 최고령} + \text{빌 ≠ 최고령} \Rightarrow \text{셀린 = 최고령}; \;\text{III 거짓} \Rightarrow \text{셀린 = 최연소} \;\text{— 모순}$$

💡 역시 단순한 양자 비교 — 두 사람이 최고령에서 제외되면 남은 한 사람이 최고령이 됩니다.

#2 빠짐없이 나열하기 K.MD.A.2 단계 3

경우 3: 문장 III("셀린은 가장 어리지 않다")가 참이라고 가정합니다.
그러면 I과 II는 둘 다 거짓입니다.
I이 거짓이므로: 빌은 최고령이 아닙니다.
II가 거짓이므로: 그 부정인 "에이미가 가장 나이가 많다"가 성립합니다.
III가 참이므로: 셀린은 최연소가 아닙니다.
지금까지 알아낸 사실을 적어 둡니다.

$$\text{에이미 = 최고령}, \;\text{빌 ≠ 최고령}, \;\text{셀린 ≠ 최연소}$$

💡 세 가지 사실을 나란히 적어 두는 것이 "빠짐없이 나열하기"의 핵심 — 결론을 내리기 전에 우선 정리합니다.

#2 빠짐없이 나열하기 K.MD.A.2 단계 4

순서를 마무리합니다.
에이미가 최고령이므로 남은 자리(중간과 최연소)는 빌과 셀린의 몫입니다.
셀린은 최연소가 아니므로 빌이 최연소가 되어야 하고, 그러면 셀린은 중간 자리에 들어갑니다.
나이가 많은 순서대로: 에이미, 셀린, 빌.

$$\text{에이미} > \text{셀린} > \text{빌} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 몇 가지 "더 나이가 많다" 정보로 세 사람을 나이 순서로 줄 세우는 것은 유치원 수준의 비교·정렬 능력 그대로입니다.

[1] #3 K.MD.A.2 경우 1: 문장 I("빌이 가장 나이가 많다")이 참이라고 가정합니다. 그러면 II와 III는 둘 다 거짓이어야 합니다. II("에이미는 가장

[2] #3 K.MD.A.2 경우 2: 문장 II("에이미는 가장 나이가 많지 않다")가 참이라고 가정합니다. 그러면 I과 III는 둘 다 거짓입니다. II가 참이므로: 에

[3] #2 K.MD.A.2 경우 3: 문장 III("셀린은 가장 어리지 않다")가 참이라고 가정합니다. 그러면 I과 II는 둘 다 거짓입니다. I이 거짓이므로: 빌은 최고

[4] #2 K.MD.A.2 순서를 마무리합니다. 에이미가 최고령이므로 남은 자리(중간과 최연소)는 빌과 셀린의 몫입니다. 셀린은 최연소가 아니므로 빌이 최연소가 되어야 하

검토

합리성 확인: 살아남은 순서 에이미 > 셀린 > 빌을 세 문장과 모두 대조해 봅니다. (I) 빌이 최고령? 에이미가 최고령이므로 거짓. (II) 에이미가 최고령이 아니다? 에이미가 최고령이므로 거짓. (III) 셀린이 최연소가 아니다? 최연소는 빌이므로 참. 정확히 하나만 참이고 둘은 거짓 — 문제 조건과 일치합니다. 경우 1과 2에서 분명한 모순이 나왔으므로 (E)가 유일한 답입니다.

대안 접근: 도구 #3을 선택지에 바로 적용해 봅니다. 각 순서를 보고 I, II, III 중 몇 개가 참이 되는지 셉니다. (A) 빌, 에이미, 셀린 — I 참, II 참, III 거짓: 둘 참, 탈락. (B) 에이미, 빌, 셀린 — I 거짓, II 거짓, III 거짓: 영 개, 탈락. (C) 셀린, 에이미, 빌 — I 거짓, II 참, III 참: 둘 참, 탈락. (D) 셀린, 빌, 에이미 — I 거짓, II 참, III 참: 둘 참, 탈락. (E) 에이미, 셀린, 빌 — I 거짓, II 거짓, III 참: 정확히 하나. 따라서 답은 (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 0)

K.MD.A.2 공통 측정 속성을 가진 두 물체를 직접 비교하기 (나이를 둘씩 비교("최고령," "최연소," "최고령이 아니다")하고, 제약 조건이 각자의 위치를 결정해 주면 세 사람을 나이 순서대로 정렬하는 데 사용.)

⭐ 세 경우, 두 개는 모순, 하나만 살아남는다 — 이 AMC 8 문제는 유치원 수준의 "누가 더 나이가 많은가" 비교 능력만으로 풀려요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 0)

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