AMC 8 · 2006 · #11

• 자릿수의 합의 범위를 먼저 잡습니다.
• 십의 자리는 $1$ 부터 $9$, 일의 자리는 $0$ 부터 $9$ 이므로 합은 최소 $1$, 최대 $9 + 9 = 18$.
• 그 범위 $[1, 18]$ 안의 완전제곱수는 $1, 4, 9, 16$ 입니다.

💡 $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ 를 떠올리는 건 3학년 곱셈구구($1 \times 1, 2 \times 2, 3 \times 3, 4 \times 4$) 그대로입니다. $25$ 부터는 자릿수의 합이 될 수 없어서 빼면 됩니다.

• 자릿수의 합이 $1$ 인 두 자리 수를 셉니다.
• $t \ge 1$ 인 채로 $t + u = 1$ 이 되려면 $t = 1, u = 0$ 뿐이고, 이때 수는 $10$ 입니다.

💡 2학년 자릿값 그대로: 두 자리 수는 $10t + u$ 이므로 두 자리만 정하면 수가 정해집니다. $t \ge 1$ 이라 $t = 1$ 만 가능합니다.

• 자릿수의 합이 $4$ 인 경우를 셉니다.
• $t \in \{1, \ldots, 9\}$, $u \in \{0, \ldots, 9\}$, $t + u = 4$ 인 쌍을 모두 적으면 $(1,3), (2,2), (3,1), (4,0)$.

💡 3학년 패턴: $t$ 가 $1$ 씩 커지면 $u$ 는 $1$ 씩 작아집니다. $t = 1$ 부터 $4$ 까지 훑으면 끝이고, $t = 5$ 부터는 $u = -1$ 이라 불가능합니다.

• 자릿수의 합이 $9$ 인 경우.
• 똑같은 패턴을 쓰면 $t$ 가 $1$ 부터 $9$ 까지 가는 동안 $u = 9 - t$ 는 늘 $0$ 부터 $8$ 사이의 자릿수입니다.
• $t$ 의 모든 값에서 수가 만들어집니다.

💡 패턴은 같지만 이번엔 $9 - t$ 가 늘 $\{0, \ldots, 8\}$ 안에 들어가므로 $t$ 의 $9$ 개 값이 모두 살아납니다.

• 자릿수의 합이 $16$ 인 경우.
• 이번에는 $u = 16 - t$ 가 $9$ 이하여야 하므로 $t \ge 7$.
• 가능한 쌍은 $(7, 9), (8, 8), (9, 7)$.

💡 같은 훑기인데, 이번엔 일의 자리 쪽에서 막힙니다. $t = 6$ 이면 $u = 10$ 이 되어 한 자리 수가 아니므로 $t$ 는 $7$ 부터 시작.

• 네 경우의 개수를 더합니다.
• 자릿수의 합이 완전제곱수인 두 자리 수는 $1 + 4 + 9 + 3 = 17$ 개입니다.

💡 2학년 덧셈으로 네 작은 문제의 답을 모으면 $17$, 그게 (C).