AMC 8 · 2014 · #14

쉬운 모드 학년 8

문제

직사각형 $ABCD$ 를 떠올려봅시다. 한 변 $AB$ 의 길이는 $5$ 이고, 그 옆 변 $AD$ 의 길이는 $6$ 입니다.

이 직사각형 바로 옆에는 변 $\overline{DC}$ 를 함께 쓰는 직각삼각형 $DCE$ 가 붙어 있어요. 삼각형의 직각은 꼭짓점 $C$ 에 있습니다. 직사각형과 삼각형이 합쳐져 그림처럼 사다리꼴 모양이 됩니다.

삼각형의 넓이는 직사각형의 넓이와 같아요.

이 삼각형의 빗변, 즉 $DE$ 의 길이는 얼마일까요?

$\textbf{(A) }12\qquad\textbf{(B) }13\qquad\textbf{(C) }14\qquad\textbf{(D) }15\qquad\textbf{(E) }16$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형 $ABCD$ 의 변 길이가 $AB = 5$, $AD = 6$ 입니다. 직각삼각형 $DCE$ 는 직사각형과 변 $DC$ 를 공유하므로 한 다리(leg)가 $DC = 5$ 이고, 직각은 $C$ 에 있으며 다른 다리 $CE$ 는 $BC$ 의 연장선 위에 놓입니다. 직사각형과 삼각형의 넓이가 같을 때, 삼각형의 빗변 $DE$ 의 길이를 구하세요.

주어진 것: 직사각형의 변 $AB = 5$ 이므로 $DC = 5$; 직사각형의 변 $AD = 6$ 이므로 $BC = 6$; $\triangle DCE$ 는 $C$ 에서 직각이고, 두 다리는 $DC$ 와 $CE$; $\text{넓이}(\triangle DCE) = \text{넓이}(ABCD)$; 선택지: (A) $12$, (B) $13$, (C) $14$, (D) $15$, (E) $16$

구하는 것: 빗변 $DE$ 의 길이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #6 추측하고 확인하기

이 문제 안에는 작은 질문 세 개가 숨어 있습니다 — (a) 직사각형 넓이는? (b) 그 넓이가 같다면 모르는 다리 $CE$ 의 길이는? (c) 두 다리를 알면 빗변 $DE$ 는? 이것이 바로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 그대로입니다. 각 조각을 풀고 이어 붙이면 끝입니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 $DC = 5$ 가 공유변임을 눈으로 확인해 삼각형의 "높이" 가 누구이고 "밑변" 이 누구인지 헷갈리지 않게 해 줍니다. 마지막 단계에서는 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 무거운 계산 대신 잘 알려진 피타고라스 수 $(5, 12, 13)$ 을 떠올리면 빗변이 $13$ 임을 바로 알 수 있습니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 1

작은 문제 1: 직사각형의 넓이를 구합니다.
두 변이 $5$ 와 $6$ 이므로 곱하면 됩니다.

$$\text{넓이}(ABCD) = 5 \times 6 = 30$$

💡 직사각형 넓이 $=$ 가로 $\times$ 세로 는 3학년 표준 — 이 문제의 모든 단계가 여기서 출발합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 2

작은 문제 2: 모르는 다리 $CE$ 의 길이를 구합니다.
삼각형 넓이도 똑같이 $30$ 입니다.
공유변 $DC = 5$ 가 높이, 모르는 $CE$ 가 밑변입니다.
삼각형 넓이 공식에 넣고 $CE$ 를 풉니다.

$$\tfrac{1}{2} \cdot DC \cdot CE = 30 \;\Rightarrow\; \tfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot CE = 30 \;\Rightarrow\; CE = \dfrac{60}{5} = 12$$

💡 아는 값을 대입하고 모르는 값만 남기는 것은 6학년 일차방정식 풀이 그대로입니다.

#1 그림 그리기 3.MD.C.7 단계 3

도구 #1 로 그림을 한 번 확인합니다.
직사각형은 높이 $5$, 폭 $6$ 인데 삼각형 다리 $CE$ 는 $12$ — 직사각형 폭의 정확히 두 배입니다.
문제 그림에서도 $E$ 가 $C$ 보다 한참 오른쪽에 있으므로 길이가 맞습니다.

$CE = 12$ 인데 $BC = 6$ 이므로, $E$ 는 직사각형 끝에서 $12 - 6 = 6$ 더 나간 위치.

💡 그림으로 한 번 더 점검하면 다리를 잘못 잡는 실수를 사전에 막을 수 있어 가성비가 가장 좋은 보험입니다.

#6 추측하고 확인하기 8.G.B.7 단계 4

작은 문제 3: 빗변 $DE$ 를 구합니다.
직각삼각형의 두 다리가 $5$ 와 $12$ 이므로 피타고라스 정리를 쓰거나, 잘 알려진 피타고라스 수 $(5, 12, 13)$ 을 바로 떠올리면 됩니다 — 이게 도구 #6(추측하고 확인하기) 의 지름길입니다.

$$DE^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \;\Rightarrow\; DE = \sqrt{169} = 13 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 피타고라스 정리는 8학년 표준이지만, 작은 피타고라스 수 $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$ 을 외워 두면 즉답으로 바뀝니다.

[1] #7 3.MD.C.7 작은 문제 1: 직사각형의 넓이를 구합니다. 두 변이 $5$ 와 $6$ 이므로 곱하면 됩니다.

[2] #7 6.EE.B.7 작은 문제 2: 모르는 다리 $CE$ 의 길이를 구합니다. 삼각형 넓이도 똑같이 $30$ 입니다. 공유변 $DC = 5$ 가 높이, 모르는 $C

[3] #1 3.MD.C.7 도구 #1 로 그림을 한 번 확인합니다. 직사각형은 높이 $5$, 폭 $6$ 인데 삼각형 다리 $CE$ 는 $12$ — 직사각형 폭의 정확히 두

[4] #6 8.G.B.7 작은 문제 3: 빗변 $DE$ 를 구합니다. 직각삼각형의 두 다리가 $5$ 와 $12$ 이므로 피타고라스 정리를 쓰거나, 잘 알려진 피타고라스

검토

합리성 확인: 직각삼각형의 빗변은 두 다리보다는 길고 두 다리의 합보다는 짧아야 합니다. 다리가 $5$ 와 $12$ 이므로 $12 < DE < 17$ — (B) $13$, (C) $14$, (D) $15$, (E) $16$ 만 후보로 남는데, 이 중 $(5, 12, 13)$ 이라는 잘 알려진 피타고라스 수와 일치하는 것은 $13$ 뿐입니다. 넓이도 다시 확인하면 $\tfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 = 5 \cdot 6$ 으로 두 도형 모두 넓이 $30$ 이 맞습니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지를 직접 검사합니다. 각 후보 빗변을 제곱한 뒤 $DC^2 = 25$ 를 빼서 완전제곱수가 나오는지, 그리고 그 다리로 넓이가 $30$ 이 되는지 봅니다. (A) $12^2 - 25 = 119$ (X), (B) $13^2 - 25 = 144 = 12^2$ — $CE = 12$, 넓이 $= 30$ (O), (C) $14^2 - 25 = 171$ (X), (D) $15^2 - 25 = 200$ (X), (E) $16^2 - 25 = 231$ (X). 오직 (B) 만 통과.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

3.MD.C.7 넓이를 곱셈과 연결하기; 직사각형 넓이를 변 길이의 곱으로 구하기 ($\text{넓이}(ABCD) = 5 \times 6 = 30$ 계산과, 그림에서 어느 변이 공유변인지 확인하는 데 사용.)
6.EE.B.7 $px = q$ 형태의 일차방정식 풀기 ($\tfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot CE = 30$ 에서 모르는 다리 $CE = 12$ 를 구하는 데 사용.)
8.G.B.7 직각삼각형에서 모르는 변 길이를 피타고라스 정리로 구하기 (빗변 $DE = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ 계산, 또는 $(5, 12, 13)$ 피타고라스 수 인식.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 직사각형 넓이 $\to$ 모르는 다리 $\to$ 피타고라스 세 단계로 이어지므로, 8학년의 $a^2 + b^2 = c^2$ 한 가지만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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