AMC 8 · 2022 · #14

• 먼저 $\textbf{BEEKEEPER}$ 의 글자를 정리합니다.
• $E$ 가 $5$ 개, 그리고 서로 다른 글자 $B$, $K$, $P$, $R$ 이 각각 하나씩 — 합쳐서 $9$ 글자입니다.
• 제약 조건은 오직 $E$ 끼리의 관계에만 걸리므로, $E$ 를 먼저 다루는 전략이 자연스럽습니다.

💡 두 묶음의 글자 수를 세어 더하는 것은 $2$ 학년 덧셈 문장제 그대로입니다.

• 같은 아이디어를 아주 작은 단어로 먼저 시험해 봅시다.
• $\textbf{BEE}$ 에는 $E$ 가 $2$ 개, 다른 글자 $B$ 가 $1$ 개 있습니다.
• $E \,\_\, E$ 로 늘어놓으면 빈칸은 정확히 $1$ 개.
• $B$ 를 그 한 칸에 넣을 방법은 $1$ 가지뿐 — $EBE$ 입니다.
• 실제로 $\textbf{BEE}$ 를 두 $E$ 가 안 붙게 배열하는 방법은 $EBE$ 하나뿐이므로, "$E$ 를 띄워 늘어놓고 빈칸을 채운다" 라는 전략이 옳다는 것을 확인할 수 있습니다.

💡 같은 상황의 더 작은 판본으로 먼저 풀어 보는 것은 $3$ 학년 문장제 학습 습관이자, 빈칸 전략이 통한다는 증거가 됩니다.

• 이제 원래 문제의 그림을 그립니다.
• $5$ 개의 $E$ 사이마다 빈칸을 하나씩 두고 늘어놓으면 $E \,\_\, E \,\_\, E \,\_\, E \,\_\, E$ 가 되고, $E$ 사이 빈칸은 정확히 $5 - 1 = 4$ 개입니다.
• 이 $4$ 개의 빈칸마다 $E$ 가 아닌 글자가 하나씩 들어가기만 하면, 두 $E$ 가 이웃하는 일은 절대 일어나지 않습니다 — 빈칸의 글자가 자동으로 $E$ 들을 떼어 놓아 주기 때문입니다.

💡 $5$ 개 사물 사이의 간격을 세는 "하나 적게" 뺄셈은 $1$ 학년 수준이면 충분합니다.

• $E$ 가 아닌 네 글자를 $4$ 개의 빈칸에 짝지어 줍니다.
• 서로 다른 글자가 정확히 $4$ 개 ($B$, $K$, $P$, $R$) 이고 빈칸도 정확히 $4$ 개이므로, 조건을 만족하는 $\textbf{BEEKEEPER}$ 의 모든 배열은 "$B$, $K$, $P$, $R$ 을 $4$ 칸에 어떤 순서로 넣을지" 와 일대일로 대응합니다.
• 그래서 원래 문제는 "서로 다른 $4$ 글자를 한 줄로 늘어놓는 경우의 수" 로 깔끔하게 줄어듭니다.

💡 원래의 세는 문제를 더 작은, 똑같이 "세는" 문제로 환원시키는 것이 도구 #7 의 핵심 동작입니다.

• $B$, $K$, $P$, $R$ 을 늘어놓는 순서를 셉니다.
• 첫 칸에 들어갈 글자는 $4$ 가지, 두 번째 칸은 (한 글자가 이미 쓰였으니) $3$ 가지, 세 번째 칸은 $2$ 가지, 마지막 칸은 $1$ 가지입니다.
• 곱하면 $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
• 답은 선택지 $\textbf{(D)}$ 와 일치합니다.

💡 $4 \times 3 \times 2 \times 1$ 같은 $100$ 이하의 곱셈은 $3$ 학년 "$100$ 까지 능숙한 곱셈" 표준입니다.