AMC 8 · 2022 · #17

쉬운 모드 학년 4

문제

$\emph{이중 계승(double factorial)}$ 이라는 특별한 기호가 있어요. $n!!$ 이라고 씁니다. $n$ 이 짝수인 양의 정수일 때, $n!!$ 은 $2$ 부터 $n$ 까지의 모든 짝수를 전부 곱한 값을 뜻해요.

예를 들어, $8!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8$ 입니다.

이제 긴 덧셈을 떠올려 봅시다. $2!!$ 부터 시작해서 $4!!$ , $6!!$ 을 더하고, 짝수씩 올라가며 $2022!!$ 까지 계속 더하는 거예요:
$2!! + 4!! + 6!! + \cdots + 2018!! + 2020!! + 2022!!$

이 합은 어마어마하게 큰 수가 됩니다. 우리는 전체 값이 아니라, 맨 마지막 자리 숫자(일의 자리)만 알고 싶어요.

이 합의 일의 자리 숫자는 무엇일까요?

$\textbf{(A) } 0\qquad\textbf{(B) } 2\qquad\textbf{(C) } 4\qquad\textbf{(D) } 6\qquad\textbf{(E) } 8$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 짝수 양의 정수 $n$ 에 대해, 이중 계승 $n!!$ 은 $2$ 부터 $n$ 까지의 모든 짝수를 곱한 값으로 정의합니다 (예: $8!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8$). 이때 $2!! + 4!! + 6!! + \cdots + 2020!! + 2022!!$ 의 일의 자리 숫자는 무엇일까요?

주어진 것: 짝수 $n$ 에 대해 $n!!$ 은 $2$ 부터 $n$ 까지의 짝수를 모두 곱한 값; 합은 $n = 2, 4, 6, \ldots, 2022$ 의 모든 짝수에 대해 더함 (총 $1011$ 개 항); 선택지: (A) $0$, (B) $2$, (C) $4$, (D) $6$, (E) $8$

구하는 것: 긴 합 $2!! + 4!! + 6!! + \cdots + 2022!!$ 의 일의 자리 숫자

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

항이 $1011$ 개나 되고 마지막 $2022!!$ 는 어마어마하게 큰 수라 직접 계산은 불가능합니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 일단 앞쪽 이중 계승 몇 개만 손으로 구해 보고 일의 자리에서 무슨 일이 일어나는지 관찰합니다. 그러면 도구 #5(패턴 찾기) 가 빛을 발합니다 — $10!!$ 부터 일의 자리가 $0$ 이 되고, 그 뒤로 모든 $n!!$ ($n \geq 10$) 은 인수에 $10$ 이 들어가므로 일의 자리가 모두 $0$ 이라는 사실이 보입니다. 결국 영향력 있는 항은 처음 네 개 ($2!!, 4!!, 6!!, 8!!$) 뿐이고, 문제는 한 줄짜리 덧셈으로 줄어듭니다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.5 단계 1

이중 계승을 앞에서부터 차례로 계산합니다.
바로 앞 항에 다음 짝수를 한 번씩만 곱해 가면 숫자가 작게 유지됩니다.

$$2!! = 2,\ 4!! = 2 \cdot 4 = 8,\ 6!! = 8 \cdot 6 = 48,\ 8!! = 48 \cdot 8 = 384$$

💡 $48$ 같은 두 자리 수에 $8$ 같은 한 자리 수를 곱하는 것은 4학년 다자릿수 $\times$ 한 자릿수 곱셈 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 3.OA.D.9 단계 2

각 항의 일의 자리 숫자만 뽑아 늘어놓고 규칙을 찾아봅니다: $2, 8, 8, 4$.
한 항만 더 계산해서 $n = 10$ 에서 어떤 일이 생기는지 봅니다 — $10!! = 8!! \cdot 10 = 384 \cdot 10 = 3840$ 이므로 일의 자리는 $0$.

$$\text{지금까지 일의 자리: } 2,\; 8,\; 8,\; 4,\; 0$$

💡 $10$ 을 곱하면 끝에 $0$ 이 하나 붙는다는 사실은 3학년 "산술 패턴 찾기" 수준의 관찰입니다.

#5 패턴 찾기 3.OA.D.9 단계 3

이제 일반화합니다.
$n \geq 10$ 인 모든 짝수 $n$ 에 대해 $n!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdots n$ 의 인수에는 $10$ 이 포함되어 있습니다.
$10$ 의 배수는 일의 자리가 무조건 $0$ 이므로, $10!!$ 부터 $2022!!$ 까지 모든 항이 일의 자리 $0$ 으로 합에 기여합니다.

$$10!!,\ 12!!,\ 14!!,\ \ldots,\ 2022!! \;\Rightarrow\; \text{모두 일의 자리 } 0$$

💡 "인수에 $10$ 이 있으면 일의 자리는 $0$" 이라는 3학년 곱셈 규칙 하나로 수천 개의 항이 한꺼번에 사라집니다.

#5 패턴 찾기 2.NBT.B.5 단계 4

$0$ 을 아무리 더해도 일의 자리는 안 바뀌므로 결국 $2!! + 4!! + 6!! + 8!!$ 의 일의 자리만 중요합니다.
일의 자리 숫자들을 더하면 $2 + 8 + 8 + 4 = 22$ 이고, $22$ 의 일의 자리는 $2$ 이므로 전체 합의 일의 자리도 $2$ 입니다.
답은 (B).

$$2 + 8 + 8 + 4 = 22 \;\Rightarrow\; \text{일의 자리 } = 2 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 한 자리 수 네 개를 더해 일의 자리만 읽는 것은 2학년 덧셈 유창성 수준 — 어려운 일은 패턴 쪽에서 이미 다 끝났습니다.

[1] #9 4.NBT.B.5 이중 계승을 앞에서부터 차례로 계산합니다. 바로 앞 항에 다음 짝수를 한 번씩만 곱해 가면 숫자가 작게 유지됩니다.

[2] #5 3.OA.D.9 각 항의 일의 자리 숫자만 뽑아 늘어놓고 규칙을 찾아봅니다: $2, 8, 8, 4$. 한 항만 더 계산해서 $n = 10$ 에서 어떤 일이 생기

[3] #5 3.OA.D.9 이제 일반화합니다. $n \geq 10$ 인 모든 짝수 $n$ 에 대해 $n!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 1

[4] #5 2.NBT.B.5 $0$ 을 아무리 더해도 일의 자리는 안 바뀌므로 결국 $2!! + 4!! + 6!! + 8!!$ 의 일의 자리만 중요합니다. 일의 자리 숫자들

검토

합리성 확인: 일의 자리 숫자는 $\{0, 1, 2, \ldots, 9\}$ 중 하나여야 하는데 답 $2$ 는 이 범위 안에 있습니다. 실제로 처음 네 항을 직접 더해 봐도 $2 + 8 + 48 + 384 = 442$ 로 일의 자리가 $2$ 이고, 이후 모든 항은 일의 자리가 $0$ 이라 아무리 더해도 일의 자리는 그대로 $2$ — 답과 일치합니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 로 빠르게 확인할 수도 있습니다. $2 + 8 + 48 + 384 = 442$ 의 일의 자리가 이미 $2$ 이므로 선택지 (A) $0$, (C) $4$, (D) $6$, (E) $8$ 은 즉시 탈락 — (B) 만 남습니다. 또는 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 합을 "의미 있는 처음 네 항" 과 "일의 자리가 모두 $0$ 인 꼬리" 두 덩어리로 나눠서 각각 처리하는 관점도 가능합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.B.5 최대 네 자리 수와 한 자리 수의 곱셈 (이중 계승 몇 개를 손으로 계산할 때 $48 \cdot 8 = 384$ (와 $384 \cdot 10 = 3840$) 같은 다자릿수 $\times$ 한 자릿수 곱셈을 수행.)
3.OA.D.9 산술 패턴을 찾고 연산의 성질로 설명하기 (인수에 $10$ 이 들어가는 순간부터 모든 $n!!$ 의 일의 자리가 $0$ 이 된다는 핵심 패턴을 찾아내, $1011$ 개의 항을 네 개로 줄이는 데 사용.)
2.NBT.B.5 $100$ 이내의 덧셈과 뺄셈 유창하게 하기 (남은 일의 자리 숫자 $2 + 8 + 8 + 4 = 22$ 를 더해 최종 일의 자리를 읽어내는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 곱셈과 "$10$ 을 곱하면 일의 자리는 $0$" 이라는 패턴 하나만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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