AMC 8 · 2024 · #20

• 주사위(또는 종이 상자) 한 꼭짓점에 $P$ 라고 적어 놓고, $P$ 와 나머지 $7$ 개 꼭짓점 사이의 "길의 종류"를 손으로 따져 봅니다.
• 종류는 세 가지뿐입니다: ① **모서리로 이웃한 꼭짓점**($Q, S, W$의 3개), ② **같은 면 위에서 마주보는 꼭짓점** = 면 대각선의 다른 끝($R, T, V$의 3개), ③ **정육면체 정반대편 꼭짓점** = 공간 대각선의 다른 끝($U$의 1개).
• 합계 $3 + 3 + 1 = 7$ 로 $P$ 를 뺀 나머지 모든 꼭짓점이 정확히 분류됩니다.

💡 실제 정육면체를 손으로 돌려 보며 "가까운 점·면을 가로질러 마주보는 점·정반대 점"으로 나누는 일은 유치원에서 입체도형을 살펴보고 비교하는 활동에 해당합니다.

• 정육면체의 여섯 면은 **모두 합동인 정사각형**이므로, 모든 면 대각선의 길이는 똑같습니다.
• 같은 이유로 모든 모서리도 길이가 같고, 모서리 길이와 면 대각선 길이는 다릅니다(정사각형 안에서 한 변보다 대각선이 더 길죠).
• 또 공간 대각선은 면 대각선보다도 더 깁니다(정육면체를 가로지르니까요).
• 그래서 $P$ 에서 출발하는 "길이의 종류"는 **모서리 길이 < 면 대각선 < 공간 대각선** 의 세 단계로 모두 다릅니다.

💡 "여섯 면이 모두 똑같은 정사각형이니 그 안의 대각선도 모두 똑같다"는 추론은 3학년에서 같은 분류의 도형이 같은 성질을 공유한다는 개념에서 나옵니다.

• 정삼각형은 세 변의 길이가 같아야 하므로, $P$ 를 한 꼭짓점으로 쓰는 정삼각형에서는 다른 두 꼭짓점도 $P$ 와의 거리가 **같은 종류**여야 합니다.
• 그래서 정삼각형이 될 수 **없는** 후보부터 지웁니다: 공간 대각선 종류는 $P$ 의 반대편 꼭짓점 $U$ 단 하나뿐이라 "$P$ 와 같은 거리의 다른 두 점"을 만들 수 없으므로 $U$ 와 공간 대각선 길이를 쓰는 정삼각형은 만들 수 없습니다.
• 모서리 길이로 만들려면 $P$ 의 이웃 $Q, S, W$ 중 두 점을 골라야 하는데, 어떤 두 이웃을 골라도 그 두 점은 서로 면 대각선만큼 떨어져 있어 길이가 달라지므로 모서리 길이의 정삼각형도 만들 수 없습니다.
• 남는 유일한 가능성은 **면 대각선 길이**, 즉 $P$ 와 같은 면에서 마주보는 세 점 $R, T, V$ 만 후보입니다.

💡 "안 되는 경우를 먼저 지운다"는 관점 바꾸기는 유치원의 도형 분류 활동에서 "여기 들어가지 않는 것은 빼기"의 자연스러운 확장입니다.

• 세 후보 $R, T, V$ 중에서 두 점을 골라 $P$ 와 함께 삼각형을 만드는 방법을 **빠짐없이 나열**합니다.
• 알파벳 순서로 적으면: ① $\{R, T\}$ → $\triangle PRT$, ② $\{R, V\}$ → $\triangle PRV$, ③ $\{T, V\}$ → $\triangle PVT$.
• 총 $3$ 가지입니다.

💡 세 글자 $R, T, V$ 에서 두 개씩 짝을 만드는 일은 유치원의 "3을 두 묶음으로 나누기" 같은 작은 분해 활동과 같은 수준입니다.

• 이 세 삼각형이 정말로 정삼각형인지, 즉 두 후보 점 사이의 거리도 면 대각선인지 손에 든 정육면체로 확인합니다.
• ① $R$ 과 $T$ 는 뒷면 $RSTU$ 의 마주보는 꼭짓점 → 면 대각선.
• ② $R$ 과 $V$ 는 오른쪽 면 $QRUV$ 의 마주보는 꼭짓점 → 면 대각선.
• ③ $T$ 와 $V$ 는 아랫면 $TUVW$ 의 마주보는 꼭짓점 → 면 대각선.
• 모든 면이 합동인 정사각형이므로(2단계) 세 거리는 모두 같고, 따라서 세 삼각형 모두 정삼각형입니다.

💡 세 변이 모두 같은 종류의 면 대각선임을 짚는 일은 2학년에서 "세 변이 같은 삼각형"이라는 도형의 특성을 알아보는 활동과 같은 수준입니다.

• 구한 답 $3$ 을 선택지와 맞춰 봅니다.
• $(A) 0$, $(B) 1$, $(C) 2$ 는 우리가 이미 세 개의 정삼각형 예 $\triangle PRT, \triangle PRV, \triangle PVT$ 를 직접 찾았으므로 모두 너무 작아 탈락.
• $(E) 6$ 은 후보 점이 $R, T, V$ 단 세 개뿐이어서 $P$ 와 함께 만들 수 있는 삼각형 수가 $\binom{3}{2} = 3$ 을 넘을 수 없으므로 탈락.
• 남는 답은 $(D) 3$ 입니다.

💡 $5$ 이내의 수를 세어 가장 알맞은 것을 고르는 일은 유치원의 $5$ 이내 덧셈·셈하기 능력으로 충분합니다.