AMC 10 · 2008 · #21

학년 8 geometry-3d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates

coordinate-geometrypythagorean-theoremspatial-visualization spatial-visualizationconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변의 길이가 $1$ 인 정육면체를, 그림과 같이 대각선으로 마주 보는 두 꼭짓점 $A$ 와 $C$ , 그리고 $A$ 나 $C$ 를 포함하지 않는 서로 마주 보는 두 모서리의 중점 $B$ 와 $D$ 를 지나는 평면으로 자른다. 사각형 $ABCD$ 의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac{\sqrt{6}}{2}$

(B)

$\ \frac{5}{4}$

(C)

$\ \sqrt{2}$

(D)

$\ \frac{5}{8}$

(E)

$\ \frac{3}{4}$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 1인 정육면체를 평평한 평면으로 자른다. 이 평면은 정육면체의 마주 보는 두 꼭짓점 A와 C를 지나고, A와 C에 닿지 않는 마주 보는 두 모서리의 중점 B와 D를 지난다. 자른 단면은 평면 위의 사각형 ABCD가 된다. 그 넓이를 구하라.

주어진 것: 정육면체의 한 변의 길이는 1이다.; A와 C는 정육면체의 대각선 방향으로 마주 보는 꼭짓점이다(공간 대각선만큼 떨어져 있다).; B와 D는 마주 보는 두 모서리의 중점이며, 두 모서리 모두 A와 C에 닿지 않는다.; ABCD는 평면이 정육면체와 만나 생기는 평평한 단면이다.

구하는 것: 사각형 ABCD의 넓이.

이해

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

3차원 정육면체를 비스듬히 자른 단면은 눈으로 재기 어려우므로, 모든 점을 정육면체 위의 좌표로 고정한다. 네 꼭짓점이 숫자가 되면 거리 공식으로 도형 문제가 계산 문제로 바뀐다. 변의 길이를 확인해 도형의 이름을 정하고, 그다음 대각선을 잰다. 이 도형은 마름모로 밝혀지고, 마름모는 넓이를 구하는 간단한 지름길, 즉 두 대각선의 곱의 절반이 있으므로, 문제 전체가 대각선 두 개의 길이를 찾는 일로 줄어든다.

실행 — 정답: A

#17 공간 상상하기 6.NS.C.6 단계 1

정육면체를 좌표에 올리기

정육면체의 꼭짓점이 x, y, z가 각각 0 또는 1인 모든 점이 되도록 놓는다.
A와 C를 마주 보는 꼭짓점 A = (1,0,0), C = (0,1,1)로 잡으면 세 좌표가 모두 다른데, 이것이 바로 '대각선 방향으로 마주 본다'는 뜻이다.
A와 C에 모두 닿지 않는 마주 보는 두 모서리는 (0,0,0)에서 (0,0,1)까지, 그리고 (1,1,0)에서 (1,1,1)까지이고, 그 중점은 B = (0,0,$\frac{1}{2}$), D = (1,1,$\frac{1}{2}$)이다.
이제 ABCD의 모든 점이 구체적인 세 수의 짝이 된다.

$$A=(1,0,0),\; B=(0,0,\tfrac12),\; C=(0,1,1),\; D=(1,1,\tfrac12)$$

💡 각 꼭짓점에 주소를 주면 머릿속으로 상상해야 하던 도형이 바로 계산할 수 있는 숫자로 바뀐다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.8 단계 2

ABCD가 마름모임을 보이기

3차원 거리 공식(다리가 셋인 피타고라스)으로 네 변을 잰다.
A에서 B로 가면 x가 1, y가 0, z가 $\frac{1}{2}$만큼 변하므로 AB = sqrt(1 + 0 + $\frac{1}{4}$) = sqrt(5)/2이다.
BC, CD, DA도 똑같이 하면 매번 sqrt(5)/2가 나온다.
네 변이 모두 같으므로 ABCD는 마름모이다.

$$AB=\sqrt{1^2+0^2+(\tfrac12)^2}=\tfrac{\sqrt5}{2}=BC=CD=DA$$

💡 변의 길이가 모두 같다는 것은 마름모의 지문이고, 거리 공식으로 네 변을 한 번에 확인할 수 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

두 대각선 재기

ABCD의 대각선은 AC와 BD이다.
AC는 마주 보는 두 꼭짓점을 잇는 공간 대각선이므로 AC = sqrt(1 + 1 + 1) = sqrt(3)이다.
BD는 B = (0,0,$\frac{1}{2}$)와 D = (1,1,$\frac{1}{2}$)를 잇는데 x가 1, y가 1, z가 0만큼 변하므로 BD = sqrt(1 + 1 + 0) = sqrt(2), 즉 면 대각선의 길이이다.
(마름모답게 두 대각선은 공통 중점 ($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$)에서 직각으로 만난다.)

$$AC=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt3,\qquad BD=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt2$$

💡 긴 대각선은 정육면체를 관통해 지나가고 짧은 대각선은 한 면 위에 놓이는데, 둘 다 공간에서의 피타고라스일 뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 4

마름모 넓이 공식 적용하기

마름모의 넓이는 두 대각선의 곱의 절반이다.
두 대각선이 서로 수직이라 마름모를 똑같은 직각삼각형 네 개로 나누기 때문이다.
따라서 넓이는 ($\frac{1}{2}$) 곱하기 sqrt(3) 곱하기 sqrt(2)이다.
근호를 곱하면 sqrt(3)*sqrt(2) = sqrt(6)이므로 넓이는 sqrt(6)/2이다.
이것이 선택지 (A)이다.

$$[ABCD]=\tfrac12\, d_1 d_2=\tfrac12\cdot\sqrt3\cdot\sqrt2=\tfrac{\sqrt6}{2}$$

💡 수직인 대각선은 마름모를 직각삼각형 네 개로 만들어 주는데, 이것이 바로 대각선 곱의 절반이라는 지름길이다.

[1] #17 6.NS.C.6 정육면체의 꼭짓점이 x, y, z가 각각 0 또는 1인 모든 점이 되도록 놓는다. A와 C를 마주 보는 꼭짓점 A = (1,0,0), C = (

[2] #7 8.G.B.8 3차원 거리 공식(다리가 셋인 피타고라스)으로 네 변을 잰다. A에서 B로 가면 x가 1, y가 0, z가 $\frac{1}{2}$만큼 변하므로

[3] #7 8.G.B.7 ABCD의 대각선은 AC와 BD이다. AC는 마주 보는 두 꼭짓점을 잇는 공간 대각선이므로 AC = sqrt(1 + 1 + 1) = sqrt(3

[4] #7 7.G.B.6 마름모의 넓이는 두 대각선의 곱의 절반이다. 두 대각선이 서로 수직이라 마름모를 똑같은 직각삼각형 네 개로 나누기 때문이다. 따라서 넓이는 ($

검토

합리성 확인: sqrt(6)/2는 약 1.22이다. 정육면체의 한 면의 넓이는 1인데, 이 비스듬한 단면은 꼭짓점에서 꼭짓점까지 늘어나므로 한 면보다 조금 커야 한다. 따라서 1보다 살짝 큰 값이 정확히 맞다. 또한 가로 1, 세로 sqrt(2)인 직사각형(넓이 1.41은 가장 넓은 단면에 해당)보다는 작으므로, 1.22는 한 면과 그 가장 넓은 단면 사이에 자연스럽게 놓인다. $\frac{5}{8}$ = 0.625나 $\frac{3}{4}$ = 0.75 같은 값은 한 면보다도 작으므로 바로 제외할 수 있다.

대안 접근: 좌표를 쓰지 않고 정육면체의 사실에서 두 대각선을 바로 얻는다: 한 변이 1인 정육면체의 공간 대각선은 항상 sqrt(3), 면 대각선은 항상 sqrt(2)이다. 대칭성에 의해 단면은 바로 이 두 대각선을 가지는 마름모이므로 넓이는 ($\frac{1}{2}$)(sqrt(3))(sqrt(2)) = sqrt(6)/2이다. 거의 계산 없이 같은 답이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.NS.C.6 Understand a rational number as a point on the number line (정육면체의 꼭짓점과 모서리 중점에 좌표 주소를 부여해 단면을 숫자로 바꾸기.)
8.G.B.8 Apply the Pythagorean theorem to find distance between two points in a coordinate system (네 변의 길이를 모두 sqrt(5)/2로 계산해 ABCD가 마름모임을 증명하기.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (마름모의 공간 대각선 길이 sqrt(3)과 면 대각선 길이 sqrt(2) 구하기.)
7.G.B.6 Solve real-world problems involving area, surface area, and volume (대각선 곱의 절반이라는 넓이 공식을 써서 sqrt(6)/2 얻기.)

⭐ 3차원 정육면체의 꼭짓점과 중점에 좌표를 주면, 비스듬한 단면은 마름모가 되고 그 넓이는 두 대각선을 곱해 절반으로 나눈 값일 뿐이다.