AMC 10 · 2010 · #21

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

probability-basicdivisibility-rulesdigit-decomposition casework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$1000$ 과 $10,000$ 사이의 회문수 하나를 무작위로 선택한다. 그 수가 $7$ 로 나누어떨어질 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{1}{10}$

(B)

$\dfrac{1}{9}$

(C)

$\dfrac{1}{7}$

(D)

$\dfrac{1}{6}$

(E)

$\dfrac{1}{5}$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 1000부터 9999 사이의 네 자리 회문수(앞으로 읽으나 뒤로 읽으나 같은 수) 하나를 무작위로 고른다. 이 수가 7의 배수일 확률을 구한다.

주어진 것: 이 수는 네 자리 수이므로 1000 이상 9999 이하이다.; 회문수이므로 첫째 자리와 넷째 자리가 같고, 둘째 자리와 셋째 자리가 같다.; 이런 회문수는 모두 똑같은 확률로 뽑힌다.

구하는 것: 무작위로 고른 네 자리 회문수가 7로 나누어떨어질 확률.

이해

문제 재정리: 1000부터 9999 사이의 네 자리 회문수(앞으로 읽으나 뒤로 읽으나 같은 수) 하나를 무작위로 고른다. 이 수가 7의 배수일 확률을 구한다.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기, #16 관점 바꾸기

자유롭게 정할 수 있는 두 자리 숫자에 이름을 붙이면 모든 회문수가 하나의 식으로 표현된다. 그 식은 두 부분으로 나뉘고, 각 부분이 7로 나누어떨어지는지 확인하는 편이 90개의 수를 하나씩 시험하는 것보다 훨씬 쉽다. 그다음 성공하는 경우를 세어 전체로 나누면 확률이 나온다.

실행 — 정답: E

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

회문수를 숫자로 나타내기

네 자리 회문수는 abba 꼴로, a는 바깥쪽 숫자, b는 안쪽 숫자이다.
자릿값을 쓰면 그 값은 1000a + 100b + 10b + a이다.
같은 항끼리 묶으면 1001a + 110b가 된다.
여기서 a는 1부터 9까지(맨 앞자리는 0이 안 됨), b는 0부터 9까지이므로 회문수는 모두 9 x 10 = 90개이다.

$$\overline{abba} = 1000a + 100b + 10b + a = 1001a + 110b$$

💡 다이얼 두 개(a와 b)를 가진 식 하나가 90개의 회문수를 한꺼번에 대신한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 2

나누어떨어짐을 두 부분으로 쪼개기

두 부분의 합은 7로 나눈 나머지끼리 맞아떨어질 때에만 7의 배수가 된다.
앞부분을 인수분해하면 1001 = 7 x 11 x 13이므로, 1001a는 a가 무엇이든 항상 7의 배수이다.
따라서 전체 수 1001a + 110b가 7로 나누어떨어지는 것은 정확히 나머지 부분 110b가 7로 나누어떨어질 때이다.

1001 = 7 \times 11 \times 13 \;\Rightarrow\; 7 \mid 1001a \text{ (모든 } a \text{에 대해)}

💡 a 부분은 7에 대한 무사통과이므로 결과를 정하는 것은 오직 b 부분뿐이다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 3

어떤 안쪽 숫자가 되는지 찾기

이제 110b가 언제 7의 배수인지 확인한다.
110 = 7 x 15 + 5이므로, 110b를 7로 나눈 나머지는 5b를 7로 나눈 나머지와 같다.
b = 0, 1, 2, ..., 9를 시험하면 5b가 7의 배수가 되는 것은 b = 0(값 0)과 b = 7(값 35)일 때뿐이다.
따라서 안쪽 숫자 10개 중 정확히 2개만 조건을 만족한다.

$$110b \equiv 5b \pmod{7}, \quad 5b \equiv 0 \pmod{7} \iff b \in \{0,\, 7\}$$

💡 중요한 것은 b의 나머지뿐이고, 7의 배수에 딱 맞는 숫자는 둘밖에 없다.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.7 단계 4

성공 경우를 전체로 나누기

바깥쪽 숫자 a는 완전히 자유롭고(9개의 값 어느 것이든 7의 배수가 유지된다), 안쪽 숫자 b는 성공하는 선택이 2개이다.
따라서 7로 나누어떨어지는 회문수는 9 x 2 = 18개이고, 전체는 90개이다.
확률은 $\frac{18}{90}$이고, 이는 $\frac{1}{5}$로 약분된다.
답은 (E)이다.

$$\dfrac{9 \times 2}{9 \times 10} = \dfrac{18}{90} = \dfrac{1}{5}$$

💡 자유로운 바깥 숫자 곱하기 2개의 좋은 안쪽 숫자를 전체 90으로 나누면 깔끔하게 $rac{1}{5}$이 된다.

[1] #4 6.EE.A.2 네 자리 회문수는 abba 꼴로, a는 바깥쪽 숫자, b는 안쪽 숫자이다. 자릿값을 쓰면 그 값은 1000a + 100b + 10b + a이다.

[2] #7 4.OA.B.4 두 부분의 합은 7로 나눈 나머지끼리 맞아떨어질 때에만 7의 배수가 된다. 앞부분을 인수분해하면 1001 = 7 x 11 x 13이므로, 100

[3] #2 4.OA.B.4 이제 110b가 언제 7의 배수인지 확인한다. 110 = 7 x 15 + 5이므로, 110b를 7로 나눈 나머지는 5b를 7로 나눈 나머지와 같

[4] #16 7.SP.C.7 바깥쪽 숫자 a는 완전히 자유롭고(9개의 값 어느 것이든 7의 배수가 유지된다), 안쪽 숫자 b는 성공하는 선택이 2개이다. 따라서 7로 나누어

검토

합리성 확인: 1001이 이미 7이라는 인수를 품고 있으므로 나누어떨어짐은 오직 안쪽 숫자 b 하나에만 달려 있고, 그 10개 값 중 2개가 성공한다. 10분의 2의 확률은 $\frac{1}{5}$이고 이는 보기 (E)와 일치한다. 확인 검산도 통과한다: 7007(a=7, b=0) = 7 x 1001, 1771(a=1, b=7) = 7 x 253 은 둘 다 7로 나누어떨어지는 회문수이다.

대안 접근: 나머지를 쓰는 대신 7의 배수인 회문수를 직접 나열할 수도 있다. a가 1부터 9까지 각각에 대해 언제나 b=0인 회문수(a00a = 1001a)와 b=7인 회문수를 얻고 그 밖에는 없으므로, a 하나마다 2개씩, 총 18개를 90으로 나누어 $\frac{1}{5}$이 된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 계산하기 (숫자를 a와 b로 이름 붙이고 회문수를 1001a + 110b로 나타내기.)
4.OA.B.4 약수 쌍을 모두 찾고 배수를 알아보며 소수인지 합성수인지 판정하기 (1001 = 7 x 11 x 13로 인수분해하고 110b가 7의 배수가 되는 b를 시험하기.)
7.SP.C.7 확률 모형을 세우고 이를 이용해 사건의 확률 구하기 (확률을 성공하는 회문수 대 전체 회문수의 비, $\frac{18}{90} = \frac{1}{5}$로 세우기.)

⭐ 1001이 이미 7의 배수라서 가운데 숫자만 결과를 정하고, 그 10개 중 2개가 성공하므로 확률은 $\frac{1}{5}$이다.