AMC 10 · 2012 · #9
학년 7 probability육면체 주사위 한 쌍에 숫자를 표시하되, 한 주사위에는 짝수만(2, 4, 6이 각각 두 면씩), 다른 주사위에는 홀수만(1, 3, 5가 각각 두 면씩) 나타나도록 하였다. 이 주사위 한 쌍을 던진다. 두 주사위의 윗면에 나온 숫자의 합이 7일 확률은 얼마인가?
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AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 특별한 육면체 주사위 두 개를 굴린다. 한 주사위는 짝수만 나오고 2, 4, 6이 각각 두 면씩 있다. 다른 주사위는 홀수만 나오고 1, 3, 5가 각각 두 면씩 있다. 두 윗면의 수의 합이 7이 될 확률을 구하라.
주어진 것: 짝수 주사위의 6면은 2, 2, 4, 4, 6, 6이다; 홀수 주사위의 6면은 1, 1, 3, 3, 5, 5이다; 두 주사위를 함께 굴려 윗면의 합을 본다; 선택지: (A) $\frac{1}{6}$, (B) $\frac{1}{5}$, (C) $\frac{1}{4}$, (D) $\frac{1}{3}$, (E) $\frac{1}{2}$
구하는 것: 두 윗면의 합이 7이 될 확률
이해
문제 재정리: 특별한 육면체 주사위 두 개를 굴린다. 한 주사위는 짝수만 나오고 2, 4, 6이 각각 두 면씩 있다. 다른 주사위는 홀수만 나오고 1, 3, 5가 각각 두 면씩 있다. 두 윗면의 수의 합이 7이 될 확률을 구하라.
주어진 것: 짝수 주사위의 6면은 2, 2, 4, 4, 6, 6이다; 홀수 주사위의 6면은 1, 1, 3, 3, 5, 5이다; 두 주사위를 함께 굴려 윗면의 합을 본다; 선택지: (A) $\frac{1}{6}$, (B) $\frac{1}{5}$, (C) $\frac{1}{4}$, (D) $\frac{1}{3}$, (E) $\frac{1}{2}$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #16 관점 바꾸기
각 주사위는 실제 6면을 가지므로 두 굴림은 같은 확률의 면 짝짓기 $6\times 6 = 36$가지를 만들고, 확률은 (합이 7인 짝짓기의 수)$/36$이다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 그 짝짓기를 깔끔하게 센다. 목록을 짧게 하려고 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 짝수+홀수가 7이 되는 값 쌍 — $2+5$, $4+3$, $6+1$뿐 — 을 먼저 찾고, 각 값 쌍을 두 면씩 있는 것으로 센다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 빠른 독립 점검을 준다: 짝수 주사위를 먼저 고정하고 홀수 주사위의 몇 면이 합을 완성하는지 묻는다.
실행 — 정답: D
7.SP.C.7 단계 1 같은 확률의 모든 경우 세기
- 각 주사위는 6면이고, 어떤 수는 두 번 적혀 있어도 면 자체는 모두 윗면이 될 확률이 같다.
- 두 주사위를 독립적으로 굴리면 같은 확률의 면 짝짓기 $6 \times 6 = 36$가지가 나온다.
- 모든 짝짓기의 확률이 같으므로, 합이 7일 확률은 합이 7인 짝짓기의 수를 36으로 나눈 값이다.
- 나머지 할 일은 그 이기는 경우를 세는 것이다.
💡 모든 면이 같은 확률이면 확률은 세기 문제다: 좋은 짝짓기를 전체 36가지 짝짓기로 나눈다.
7.SP.C.8 단계 2 7을 만드는 값 쌍 찾기
- 첫 주사위는 짝수 2, 4, 6만, 둘째 주사위는 홀수 1, 3, 5만 보여준다.
- 각 짝수 값을 7에 도달하는 데 필요한 홀수 값과 짝지어 보자: $2$는 $5$가, $4$는 $3$이, $6$은 $1$이 필요하다.
- 이 짝들은 모두 실제로 홀수 주사위에 있으므로, 합이 7인 값 쌍은 정확히 세 개다: $(2,5)$, $(4,3)$, $(6,1)$.
💡 각 짝수는 7을 완성하는 홀수 짝이 정확히 하나뿐이라, 이기는 쌍을 쉽게 나열할 수 있다.
7.SP.C.8 단계 3 값 쌍마다 면의 수 세기
- 이제 두 면씩 있음을 이용한다.
- 값 $2$는 짝수 주사위의 두 면에 있고 $5$는 홀수 주사위의 두 면에 있으므로, 쌍 $(2,5)$는 $2 \times 2 = 4$가지 면 짝짓기로 나온다.
- $(4,3)$과 $(6,1)$도 마찬가지로 각각 $4$가지다.
- 세 값 쌍을 더하면 합이 7인 면 짝짓기는 $4 + 4 + 4 = 12$가지다.
💡 각 주사위의 맞는 두 면이 곱해지므로, 이기는 값 쌍마다 네 번씩 세어진다.
7.NS.A.3 단계 4 확률 만들기
- 이기는 12가지 짝짓기를 전체 36가지로 나눈다: $\tfrac{12}{36}$.
- 두 수 모두 12로 나누어지므로 $\tfrac{1}{3}$로 약분된다.
- 이는 선택지 (D)와 일치하므로 답은 (D)이다.
💡 이기는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눠 간단한 분수로 줄인다.
7.SP.C.7 각 주사위는 6면이고, 어떤 수는 두 번 적혀 있어도 면 자체는 모두 윗면이 될 확률이 같다. 두 주사위를 독립적으로 굴리면 같은 확률의 면 짝 7.SP.C.8 첫 주사위는 짝수 2, 4, 6만, 둘째 주사위는 홀수 1, 3, 5만 보여준다. 각 짝수 값을 7에 도달하는 데 필요한 홀수 값과 짝지어 보자 7.SP.C.8 이제 두 면씩 있음을 이용한다. 값 $2$는 짝수 주사위의 두 면에 있고 $5$는 홀수 주사위의 두 면에 있으므로, 쌍 $(2,5)$는 $2 \ 7.NS.A.3 이기는 12가지 짝짓기를 전체 36가지로 나눈다: $\tfrac{12}{36}$. 두 수 모두 12로 나누어지므로 $\tfrac{1}{3}$로 검토
합리성 확인: 값 $\tfrac{1}{3}\approx 0.33$은 타당하다: 합 7은 비교적 잘 나오는 합이므로, 가장 작은 선택지 $\tfrac{1}{6}$보다 훨씬 크고 $\tfrac{1}{2}$보다 작은 3분의 1 언저리 값이 어울린다. 구조적 점검도 이를 뒷받침한다: 짝수 주사위의 6면 각각에 대해 7을 완성하는 홀수 값은 정확히 하나(즉 홀수 면 두 개)이므로, 이기는 경우는 홀수 주사위 면의 깔끔한 $\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}$이다. $\tfrac{1}{6}$이나 $\tfrac{1}{4}$ 같은 선택지는 각 값이 두 면에 있음을 잊어야 나온다.
대안 접근: 짝수 주사위를 먼저 고정한다(도구 #16, 관점 바꾸기). 그것이 2, 4, 6 무엇을 보이든 7을 만드는 홀수는 정확히 하나이고, 그 수는 홀수 주사위의 6면 중 2면에 있다. 그래서 홀수 주사위가 합을 완성할 확률은 짝수 주사위가 무엇이든 $\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}$이고, 36가지를 모두 세지 않고도 바로 $\tfrac{1}{3}$을 얻는다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.7Develop probability models and use them to find probabilities of events (36가지 면 짝짓기를 모두 같은 확률로 보아, 확률을 합이 7인 짝짓기의 수를 36으로 나눈 값으로 두는 데 사용.)7.SP.C.8Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (합이 7인 값 쌍을 나열하고 두 면씩 있는 것을 세어 이기는 짝짓기 12가지에 이르는 데 사용.)7.NS.A.3Solve real-world problems involving the four operations with rational numbers ($\frac{12}{36}$을 최종 확률 $\frac{1}{3}$로 약분하는 데 사용.)
⭐ 같은 확률의 36가지 면 짝짓기를 세고, 그중 합이 7인 12가지를 찾아 나누면 $\frac{1}{3}$이 된다.
⭐ 같은 확률의 36가지 면 짝짓기를 세고, 그중 합이 7인 12가지를 찾아 나누면 $\frac{1}{3}$이 된다.
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