AMC 10 · 2015 · #7

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

function-evaluationfraction-arithmeticorder-of-operations identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

새로운 연산을 a◆ b = a-

\frac{1}{b}

("a 에서 b 의 역수를 뺀 값")로 정의합니다. 이 규칙을 써서 ((1◆2)◆3)-(1◆(2◆3)) 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-\dfrac{7}{30}$

(B)

$-\dfrac{1}{6}$

(C)

(D)

$\dfrac{1}{6}$

(E)

$\dfrac{7}{30}$

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

이 식은 새 연산을 자기 안에 쌓아 놓았으므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 딱 맞습니다: 가장 안쪽 괄호부터 바깥쪽으로 각 ◆ 를 하나씩 계산하고, 왼쪽 묶음과 오른쪽 묶음을 따로 끝낸 뒤 마지막에 뺍니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 숨은 함정을 잡아 줍니다 — ◆ 가 결합법칙을 따른다고 가정한 학생은 두 묶음이 상쇄되어 (C) 0 을 고르겠지만, 분수를 정확히 끝까지 들고 가면 두 값이 다름이 드러나 맞는 선택지가 하나만 남습니다.

1STEP 1

가장 안쪽 왼쪽 조각 계산

왼쪽 묶음 안쪽 1◆2 에 요리법을 적용: a=1, b=2 → 1- $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ .

1◆2 = 1-

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

2STEP 2

왼쪽 묶음 마무리

이제 ◆3 적용: $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$ 을 공통분모 6 으로 $\frac{3}{6}$ - $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{6}$ — 왼쪽 묶음.

(

\frac{1}{2}

)◆3 =

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{3}{6}

\frac{2}{6}

\frac{1}{6}

3STEP 3

가장 안쪽 오른쪽 조각 계산

오른쪽 묶음 안쪽 2◆3: a=2, b=3 → 2- $\frac{1}{3}$ = $\frac{6}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $\frac{5}{3}$ .

2◆3 = 2-

\frac{1}{3}

\frac{6}{3}

\frac{1}{3}

\frac{5}{3}

4STEP 4

오른쪽 묶음 마무리

그다음 1◆( $\frac{5}{3}$ ): $\frac{5}{3}$ 의 역수는 $\frac{3}{5}$ 이므로 1- $\frac{3}{5}$ = $\frac{2}{5}$ — 오른쪽 묶음.

1◆

\frac{5}{3}

= 1-

\frac{1}{\frac{5}{3}}

= 1-

\frac{3}{5}

\frac{2}{5}

5STEP 5

두 묶음 빼기

빼기: $\frac{1}{6}$ - $\frac{2}{5}$ = $\frac{5}{30}$ - $\frac{12}{30}$ = - $\frac{7}{30}$ — 두 묶음이 상쇄 안 되어 (C) 0 은 틀리고 (A)가 정답.

\frac{1}{6}

\frac{2}{5}

\frac{5}{30}

\frac{12}{30}

= -

\frac{7}{30}

→ (A)

정답

\frac{7}{30}

왼쪽 묶음

\frac{1}{6}

≈0.167 이 오른쪽 묶음

\frac{2}{5}

=0.4 보다 작으므로 차이는 작은 음수여야 하고 — -

\frac{7}{30}

≈-0.233 이 들어맞습니다. 선택지 (C) 0 은 연산이 결합법칙을 따라야 가능한데, ◆ 는 역수를 빼므로 그렇지 않아 0이 아닌 답이 예상됩니다. 크기

\frac{7}{30}

은 작아 큰 값을 지우고, 부호가 음수라 양수 짝꿍 (E)가 아닌 (A)로 고정됩니다.

💡핵심 정리

새로 만든 기호는 그냥 요리법입니다: 가장 안쪽 괄호부터 계산하고, 괄호를 옮기면 답이 달라질 수 있음을 기억하세요.

가장 안쪽 왼쪽 조각 계산
왼쪽 묶음 마무리
가장 안쪽 오른쪽 조각 계산
오른쪽 묶음 마무리
두 묶음 빼기

가장 안쪽 왼쪽 조각 계산

왼쪽 묶음 마무리

가장 안쪽 오른쪽 조각 계산

오른쪽 묶음 마무리

두 묶음 빼기

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