AMC 10 · 2016 · #4

학년 7 number-theory
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation
floor-functionfraction-arithmetic formula-substitution ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
실수 x와 y ≠ 0에 대해 함수 rem이 rem(x,y)=x-y⌊ xy\frac{x}{y}⌋로 정의된다. 여기서 ⌊ t⌋는 t보다 작거나 같은 가장 큰 정수이다. rem(38\frac{3}{8},-25\frac{2}{5})의 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$-\frac{3}{8}$
(B)
$-\frac{1}{40}$
(C)
0
(D)
$\frac{3}{8}$
(E)
$\frac{31}{40}$

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

공식이 복잡해 보이지만, 사실은 순서대로 하는 세 가지 작은 일일 뿐이고 이것이 바로 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)이 필요한 이유다: 먼저 x를 y로 나누고, 그 몫의 바닥값을 구한 다음, 다시 대입해 빼면 된다. 도구 #4 (변수 도입하기)는 x=38\frac{3}{8}, y=-25\frac{2}{5}를 헷갈리지 않게 지켜 각 조각이 제자리에 들어가게 한다. 도구 #3 (가능성 지우기)은 빠른 점검을 준다: 결과는 분모가 40인 음수여야 하므로 이미 하나의 선택지를 가리킨다.

1STEP 1

수를 공식에 대입하기

x=38\frac{3}{8}, y=-25\frac{2}{5}를 공식에 넣으면 38\frac{3}{8}-(-25\frac{2}{5})⌊ (38\frac{3}{8})/(-25\frac{2}{5})⌋; 어려운 건 바닥값뿐이다.

rem(38\frac{3}{8},-25\frac{2}{5})=38\frac{3}{8}-(-25\frac{2}{5})⌊ (38\frac{3}{8})/(-25\frac{2}{5})⌋
2STEP 2

두 분수 나누기

분수로 나누면 뒤집어 곱한다: 38\frac{3}{8}÷(-25\frac{2}{5})=38\frac{3}{8}·(-52\frac{5}{2}), 부호 하나로 몫은 -1516\frac{15}{16}이 된다.

(38\frac{3}{8})/(-25\frac{2}{5})=38\frac{3}{8}·(-52\frac{5}{2})=-1516\frac{15}{16}
3STEP 3

음수의 바닥값 구하기

-1516\frac{15}{16}=-0.9375은 -1과 0 사이라 왼쪽 정수로 내려가 ⌊ -1516\frac{15}{16}⌋=-1(0 아님).

⌊ -1516\frac{15}{16}⌋=⌊ -0.9375⌋=-1
4STEP 4

다시 대입해서 빼기

바닥값을 알면 38\frac{3}{8}-(-25\frac{2}{5})(-1)=38\frac{3}{8}-25\frac{2}{5}=1540\frac{15}{40}-1640\frac{16}{40}=-140\frac{1}{40}이고, 정답은 (B)이다.

38\frac{3}{8}-(-25\frac{2}{5})(-1)=1540\frac{15}{40}-1640\frac{16}{40}=-140\frac{1}{40}=(B)
정답
-140\frac{1}{40}
결과 -140\frac{1}{40}은 두 가지 빠른 검사를 통과한다. 부호: 38\frac{3}{8}=1540\frac{15}{40}은 25\frac{2}{5}=1640\frac{16}{40}보다 아주 살짝 작으므로 차이는 음수이고, 예상과 같다. 분모: 8분의와 5분의를 합치면 분모가 40이 된다. 선택지 중 음수이면서 분모가 40인 것은 (B)뿐이라 정확히 일치한다.
💡핵심 정리

바닥값은 항상 더 작은 수 쪽으로 내림하므로, -0.9375처럼 0보다 살짝 작은 값은 0이 아니라 -1로 떨어진다.

  • 수를 공식에 대입하기
  • 두 분수 나누기
  • 음수의 바닥값 구하기
  • 다시 대입해서 빼기

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