AMC 10 · 2017 · #4

학년 7 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation
fraction-arithmeticlinear-equations-two-var convert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: linear-equations-two-var
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
0이 아닌 두 실수 x와 y가 3x+yx−3y\frac{3x+y}{x-3y}=-2를 만족한다. 이 사실만 이용해 두 번째 식 x+3y3x−y\frac{x+3y}{3x-y}의 수값을 구하고, 다섯 보기 중 하나와 맞춘다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
-3
(B)
-1
(C)
1
(D)
2
(E)
3

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

도구 #4 (변수 도입하기): 주어진 식은 두 미지수 x와 y 사이의 단 하나의 관계다. 분수를 없애면 평범한 일차방정식이 되고, 그 방정식을 풀면 x와 y가 어떻게 묶여 있는지 드러난다. 그 관계만 알면 목표 식은 하나의 수로 줄어든다. 도구 #6 (추측하고 확인하기)으로 조건을 만족하는 구체적인 쌍 (x,y)를 골라 답을 바로 읽는다. 도구 #3 (가능성 지우기)으로 결과를 다섯 보기와 맞춘다.

1STEP 1

분수 없애기

x-3y ≠ 0이므로 양변에 분모를 곱해 분수를 없앤다: 3x+y=-2(x-3y).

3x+yx−3y\frac{3x+y}{x-3y}=-2 → 3x+y = -2(x-3y)
2STEP 2

x와 y의 관계 찾기

전개하고 같은 항을 모으면 3x+y=-2x+6y가 5x=5y가 되어 x=y이다.

3x+y=-2x+6y → 5x=5y → x=y
3STEP 3

목표 식에 대입하기

x=y를 x+3y3x−y\frac{x+3y}{3x-y}에 넣으면 4y2y\frac{4y}{2y}가 되고, y ≠ 0이라 y가 약분되어 2가 된다.

x+3y3x−y\frac{x+3y}{3x-y}=y+3y3y−y\frac{y+3y}{3y-y}=4y2y\frac{4y}{2y}=2
4STEP 4

보기와 맞추기

목표 식은 2와 같고, 이는 보기 (D)이다.

x+3y3x−y\frac{x+3y}{3x-y}=2 → (D)
정답
2
구체적인 쌍으로 확인한다. x=y=1을 넣으면 주어진 식은 3(1)+11−3(1)\frac{3(1)+1}{1-3(1)}=4−2\frac{4}{-2}=-2로 조건과 맞고, 목표 식은 1+3(1)3(1)−1\frac{1+3(1)}{3(1)-1}=42\frac{4}{2}=2이다. x=y=2로 해도 목표 값은 똑같이 2가 되어, 답이 x와 y의 실제 크기가 아니라 x=y라는 사실에만 달려 있음을 확인한다.
💡핵심 정리

먼저 분수를 없애라: 3x+yx−3y\frac{3x+y}{x-3y}=-2는 3x+y=-2(x-3y)를 뜻하고, 정리하면 x=y가 되며, 그러면 x+3y3x−y\frac{x+3y}{3x-y}=4y2y\frac{4y}{2y}=2, 즉 보기 (D)이다.

  • 분수 없애기
  • x와 y의 관계 찾기
  • 목표 식에 대입하기
  • 보기와 맞추기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.