AMC 10 · 2018 · #1
학년 8 arithmetic fraction-arithmeticorder-of-operationsexponents identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticorder-of-operations
📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
중첩된 식 (((2+1)⁻¹+1)⁻¹+1)⁻¹+1의 값을 구한다. 여기서 지수 ⁻¹은 '역수를 취하라'는 뜻이다. 가장 안쪽 괄호부터 바깥쪽으로 계산하고, 그 결과를 다섯 개의 보기 중 하나와 맞춘다.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac58$
(B)
$\frac{11}7$
(C)
$\frac85$
(D)
$\frac{18}{11}$
(E)
$\frac{15}8$
AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 이 식은 '역수, 그다음 +1' 형태의 똑같은 덩어리가 세 번 중첩된 것이다. 가장 안쪽 덩어리를 하나의 분수로 계산한 뒤, 그 분수를 다음 덩어리에, 다시 마지막 덩어리에 넣는다. 도구 #5 (패턴 찾기)로 각 층을 기계적으로 처리한다 — 분수를 뒤집고, 1을 더한다. 도구 #3 (가능성 지우기)으로 마지막 분수를 다섯 보기와 맞춘다.
1STEP 1
기호 해석하기
지수 ⁻¹은 역수: x⁻¹=, 분수는 뒤집혀 ()⁻¹=. 매 층은 역수를 취한 뒤 1을 더한다.
x⁻¹ = , ()⁻¹ =
-1 지수는 그냥 수를 뒤집는 것이다.
8.EE.A.1Identify Subproblems2STEP 2
가장 안쪽 덩어리
가장 깊은 괄호부터: 2+1=3, 3⁻¹=, 그다음 +1=.
(2+1)⁻¹+1 = 3⁻¹+1 = + 1 =
가장 작은 조각을 먼저 풀고, 바깥으로 쌓아 나간다.
5.NF.A.1Identify Subproblems3STEP 3
가운데 덩어리
에 덩어리 적용: ()⁻¹=, 그다음 +1=.
()⁻¹+1 = + 1 =
앞과 똑같은 동작이다: 뒤집고, 그다음 1을 더한다.
6.NS.A.1Look For A Pattern4STEP 4
바깥 덩어리
에 한 번 더: ()⁻¹=, 그다음 +1=.
()⁻¹+1 = + 1 =
뒤집고 더하기를 마지막으로 한 번 반복해 끝낸다.
5.NF.A.1Look For A Pattern5STEP 5
보기와 맞추기
식 전체는 , 즉 보기 (B)이다.
(((2+1)⁻¹+1)⁻¹+1)⁻¹+1 = → (B)
목록에서 일치하는 값을 읽어낸다.
5.OA.A.1Eliminate Possibilities정답
이 값은 1보다 조금 커야 한다. 마지막 단계에서 1보다 작은 양의 역수 에 1을 더하기 때문이다. 실제로 ≈ 1.57로, 가장 작은 보기 = 0.625와 가장 큰 보기 = 1.875 사이에 들어간다. 분모 7도 자연스럽다: 끝에서 두 번째 값이 였고, 그것을 뒤집으면서 7이 분모로 갔다.
💡핵심 정리
-1 지수는 그냥 수를 뒤집는 것이니, 중첩된 괄호를 한 층씩 벗겨라 — 뒤집고, 1을 더하고, 반복: +1=, 그다음 +1=, 그다음 +1=, 즉 (B)이다.
- 기호 해석하기
- 가장 안쪽 덩어리
- 가운데 덩어리
- 바깥 덩어리
- 보기와 맞추기