AMC 10 · 2018 · #24

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
area-trianglesequilateral-trianglecoordinate-geometrysymmetry-argument identify-subproblemssymmetry-argumentarea-difference ↑ 선수 지식: area-triangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
정육각형 ABCDEF의 한 변의 길이가 1이다. 점 X, Y, Z는 각각 변 AB, CD, EF의 중점이다. 한 칸 건너의 꼭짓점을 잇는 삼각형 ACE와 세 중점을 잇는 삼각형 XYZ가 겹치며, 그 겹치는 부분은 볼록 육각형이다. 그 겹치는 부분의 넓이를 구한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac {3}{8}\sqrt{3}$
(B)
$\frac {7}{16}\sqrt{3}$
(C)
$\frac {15}{32}\sqrt{3}$
(D)
$\frac {1}{2}\sqrt{3}$
(E)
$\frac {9}{16}\sqrt{3}$

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

도구 #1 (그림 그리기): 그림을 좌표 격자 위에 올리면 "어느 점이 두 삼각형 안에 동시에 있는가"가 직선의 정확한 방정식으로 바뀌어, 흐릿한 그림이 수가 된다. 도구 #4 (변수 도입하기): 좌표를 쓰면 각 삼각형의 각 변을 직선 방정식으로 쓸 수 있고, 만나는 점은 그 방정식들을 풀어서 나온다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 육각형은 120° 회전 대칭이므로 △ ACE에서 잘려 나가는 세 모서리가 똑같다 — 하나만 재면 된다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 여섯 변짜리 겹친 부분을 직접 구하는 대신, 큰 삼각형의 넓이를 구하고 똑같은 세 모서리를 빼면, 어려운 한 조각 대신 쉬운 두 조각이 된다.

1STEP 1

육각형을 격자에 고정하기

중심 O를 원점에 두면, 여섯 꼭짓점은 반지름 1인 원 위에 60° 간격으로 놓인다.

A(1,0), B(12\frac{1}{2},√32\frac{√3}{2}), C(-12\frac{1}{2},√32\frac{√3}{2}), D(-1,0), E(-12\frac{1}{2},-√32\frac{√3}{2}), F(12\frac{1}{2},-√32\frac{√3}{2})
2STEP 2

중점 찾기; 똑같은 두 삼각형 알아채기

끝점을 평균 내 중점을 얻고, AC = √3이므로 △ACE와 △XYZ 둘 다 정삼각형 — 중심은 O, 30° 돌아가 있다.

X(34\frac{3}{4},√34\frac{√3}{4}), Y(-34\frac{3}{4},√34\frac{√3}{4}), Z(0,-√32\frac{√3}{2}); AC=√3
3STEP 3

삼각형 ACE에서 겹친 부분을 오려내기

△ACE 안에서 △XYZ 세 변이 A·C·E 근처 모서리를 잘라내 겹침 = △ACE − 모서리 3개, △ACE 넓이는 3√34\frac{3√3}{4}.

[△ ACE]=√34\frac{√3}{4}(√3)²=3√34\frac{3√3}{4}; 겹친 부분=[△ ACE]-3·[모서리]
4STEP 4

모서리 삼각형 하나 재기

A 모서리에서 △ACE의 두 변과 △XYZ의 변 XZ가 만나는 삼각형을 신발끈으로 재면 넓이는 3√332\frac{3√3}{32}.

XZ∩ AC=(58\frac{5}{8},√38\frac{√3}{8}), XZ∩ AE=(14\frac{1}{4},-√34\frac{√3}{4})→[모서리]=3√332\frac{3√3}{32}
5STEP 5

답을 합산하기

△ACE에서 똑같은 세 모서리를 빼면, 분모 32로 24√332\frac{24√3}{32} − 9√332\frac{9√3}{32} = 15√332\frac{15√3}{32} — 보기 (C).

3√34\frac{3√3}{4}-3·3√332\frac{3√3}{32}=24√332\frac{24√3}{32}-9√332\frac{9√3}{32}=15√332\frac{15√3}{32} → (C)
정답
1532\frac{15}{32}√(3)
겹친 부분은 자기를 품고 있는 각 삼각형보다 작아야 한다. 여기서 [△ ACE]=3√34\frac{3√3}{4}=24√332\frac{24√3}{32}, [△ XYZ]=√34\frac{√3}{4}(32\frac{3}{2})²=9√316\frac{9√3}{16}=18√332\frac{18√3}{32}이고, 우리 답 15√332\frac{15√3}{32}는 둘 다보다 작다 — 진짜 교집합이라면 마땅히 그래야 한다. 보기를 분모 32로 쓰면 A=12√332\frac{12√3}{32}, B=14√332\frac{14√3}{32}, C=15√332\frac{15√3}{32}, D=16√332\frac{16√3}{32}, E=18√332\frac{18√3}{32}이다. E가 정확히 [△ XYZ]와 같음에 주목하자: △ XYZ가 △ ACE 안에 완전히 들어 있다고 잘못 가정하는 사람을 위한 함정이다 — 사실 그 모서리들은 바깥으로 삐져나온다. C는 D=12\frac{1}{2}√3 바로 아래에 있으며, △ XYZ의 대부분을 채우는 육각형과 들어맞는다.
💡핵심 정리

그림을 좌표 위에 올린 다음, 큰 삼각형에서 똑같은 세 모서리를 잘라내어 겹친 부분을 만든다.

  • 육각형을 격자에 고정하기
  • 중점 찾기; 똑같은 두 삼각형 알아채기
  • 삼각형 ACE에서 겹친 부분을 오려내기
  • 모서리 삼각형 하나 재기
  • 답을 합산하기

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