AMC 10 · 2019 · #1

학년 6 arithmetic

exponentsorder-of-operationsidentify-subproblems identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: exponentsorder-of-operations

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

What is the value of $2^{\left(0^{\left(1^9\right)}\right)}+\left(\left(2^0\right)^1\right)^9?$

$\textbf{(A) } 0 \qquad\textbf{(B) } 1 \qquad\textbf{(C) } 2 \qquad\textbf{(D) } 3 \qquad\textbf{(E) } 4$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $2^{\left(0^{\left(1^9\right)}\right)} + \left(\left(2^0\right)^1\right)^9$ 의 값을 구하세요. 왼쪽은 지수가 층층이 쌓인 탑, 오른쪽은 지수가 줄줄이 이어진 식입니다.

주어진 것: 왼쪽 항: $2$ 의 $0^{(1^9)}$ 제곱; 오른쪽 항: $((2^0)^1)^9$; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$

구하는 것: 전체 식의 값

이해

주어진 것: 왼쪽 항: $2$ 의 $0^{(1^9)}$ 제곱; 오른쪽 항: $((2^0)^1)^9$; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 식이 두 덩어리의 합 — 각각 따로 계산한 뒤 더하면 됩니다. 각 덩어리 안에서는 가장 안쪽 지수부터 한 칸씩 풀어 나갑니다. 도구 #5(패턴 찾기): $1$ 의 어떤 거듭제곱도 $1$, $2^0$ 도 $1$ — 이 두 사실이 거의 모든 일을 해 줍니다. 도구 #3(가능성 지우기): 두 덩어리가 각각 $1$ 이라는 사실에서 합은 $2$ 뿐이라는 게 곧바로 나와 나머지 선택지를 제외할 수 있어요.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.A.1 단계 1

식을 두 개의 작은 문제로 나눕니다.
$L = 2^{\left(0^{\left(1^9\right)}\right)}$ 와 $R = \left(\left(2^0\right)^1\right)^9$.
각각 구한 뒤 더할게요.

$L + R$ 에서 $L = 2^{\left(0^{\left(1^9\right)}\right)},\ R = \left(\left(2^0\right)^1\right)^9$

💡 긴 식을 이름 붙여 나누면 계산 순서가 한눈에 보입니다.

#5 패턴 찾기 6.EE.A.1 단계 2

$L$ 을 가장 안쪽부터 풉니다.
먼저 $1^9 = 1$ — $1$ 은 어떤 거듭제곱도 $1$.
다음 $0^1 = 0$.
마지막으로 $2^0 = 1$.

$1^9 = 1 \;\Rightarrow\; 0^{1} = 0 \;\Rightarrow\; 2^{0} = 1$, 따라서 $L = 1$

💡 반복되는 두 사실: $1$ 의 어떤 거듭제곱도 $1$, 그리고 $2^0 = 1$.

#5 패턴 찾기 6.EE.A.1 단계 3

$R$ 도 같은 방식으로 안쪽부터.
$2^0 = 1$.
그 다음 $1^1 = 1$.
그 다음 $1^9 = 1$.

$2^{0} = 1 \;\Rightarrow\; 1^{1} = 1 \;\Rightarrow\; 1^{9} = 1$, 따라서 $R = 1$

💡 왼쪽과 똑같은 패턴 — 한 번 $1$ 이 되면 그 뒤 어떤 거듭제곱도 $1$.

#7 작은 문제로 쪼개기 1.OA.C.6 단계 4

두 덩어리를 더하면 $L + R = 1 + 1 = 2$.
선택지 (C) 와 일치.

$$L + R = 1 + 1 = 2 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 두 부분 문제의 답을 더해 최종 값.

#3 가능성 지우기 6.EE.A.1 단계 5

선택지로 확인.
두 덩어리가 각각 $1$ 이므로 합은 정확히 $2$ — 이를 만족하는 건 (C) $2$ 뿐입니다.

$$L = 1,\ R = 1 \;\Rightarrow\; 2 = \textbf{(C)}$$

💡 $1$ 두 개를 더하면 $2$ 만 가능 — 다른 선택지는 모두 제외.

[1] #7 5.OA.A.1 식을 두 개의 작은 문제로 나눕니다. $L = 2^{\left(0^{\left(1^9\right)}\right)}$ 와 $R = \left(\l

[2] #5 6.EE.A.1 $L$ 을 가장 안쪽부터 풉니다. 먼저 $1^9 = 1$ — $1$ 은 어떤 거듭제곱도 $1$. 다음 $0^1 = 0$. 마지막으로 $2^0 =

[3] #5 6.EE.A.1 $R$ 도 같은 방식으로 안쪽부터. $2^0 = 1$. 그 다음 $1^1 = 1$. 그 다음 $1^9 = 1$.

[4] #7 1.OA.C.6 두 덩어리를 더하면 $L + R = 1 + 1 = 2$. 선택지 (C) 와 일치.

[5] #3 6.EE.A.1 선택지로 확인. 두 덩어리가 각각 $1$ 이므로 합은 정확히 $2$ — 이를 만족하는 건 (C) $2$ 뿐입니다.

검토

합리성 확인: 두 덩어리가 모두 $1$ 로 정리됐고 $1 + 1 = 2$. (A) $0$, (B) $1$, (D) $3$, (E) $4$ 는 두 개의 $1$ 합으로는 만들 수 없는 값이므로 자동 탈락. (C) $2$ 가 일관됩니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 만으로도 끝납니다: 어떤 $1^k$ 도 $1$, 어떤 $2^0$ 도 $1$ — 그러므로 각 덩어리는 $1$. 식을 전개할 필요도 없는 가장 빠른 길이에요.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

1.OA.C.6 전략으로 20 이내에서 덧셈·뺄셈하기 (정리된 두 덩어리 $1 + 1 = 2$ 더하기.)
5.OA.A.1 괄호·대괄호·중괄호가 있는 수식을 평가 (겹친 괄호를 존중해 안쪽 지수부터 차례대로 계산.)
6.EE.A.1 정수 지수를 포함한 수식을 쓰고 평가 (각 지수 계산 ($1^9 = 1$, $0^1 = 0$, $2^0 = 1$, $1^1 = 1$, $1^9 = 1$).)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "정수 지수가 있는 수식 계산" 만 알면 풀 수 있어요 — $1$ 의 어떤 거듭제곱도 $1$, $2^0$ 도 $1$ 이라서 두 덩어리가 모두 $1$, 합은 $2$ 예요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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