AMC 10 · 2019 · #10

학년 6 geometry-2d

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases

gcdlattice-pathspattern-recognitioncoordinate-geometry pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: gcd

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

A rectangular floor that is $10$ feet wide and $17$ feet long is tiled with $170$ one-foot square tiles. A bug walks from one corner to the opposite corner in a straight line. Including the first and the last tile, how many tiles does the bug visit?

$\textbf{(A) } 17 \qquad\textbf{(B) } 25 \qquad\textbf{(C) } 26 \qquad\textbf{(D) } 27 \qquad\textbf{(E) } 28$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $10$ 피트 $\times$ $17$ 피트 직사각형 바닥에 한 변이 $1$ 피트인 정사각형 타일 $170$ 개가 깔려 있음. 벌레가 한 모서리에서 대각선 맞은편 모서리까지 직선으로 걸어감. 시작 타일과 끝 타일을 포함해 벌레가 지나가는 타일 개수를 구하시오.

주어진 것: 바닥 크기: $10 \times 17$ (피트); 타일은 $1 \times 1$ 정사각형, 즉 $10 \times 17$ 격자; 벌레는 한 모서리에서 대각 맞은편 모서리까지 직선 이동; 선택지: (A) $17$, (B) $25$, (C) $26$, (D) $27$, (E) $28$

구하는 것: 대각 직선이 지나는 타일 총 개수

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #1 그림 그리기, #5 패턴 찾기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

$10 \times 17$ 격자 대각선이 지나는 타일을 직접 세기는 어려움. 도구 #9: 작은 격자 ($1 \times 1$, $2 \times 3$, $3 \times 4$, $3 \times 5$) 로 줄여 그림 (도구 #1) 으로 세기. 도구 #5 로 공식 $a + b - \gcd(a, b)$ 유추. $a = 10, b = 17$ 대입 후 도구 #3 으로 선택지 매칭.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 1

쉬운 사례 먼저.
$2 \times 3$ 격자와 대각선 그리기.
대각선이 내부 세로선 $1$ 개와 내부 가로선 $1$ 개를 가르며 $4$ 개 타일 조각으로 나뉨.
지나가는 타일 $= 4$.

$$2 \times 3 \text{ 격자: 지나가는 타일} = 4$$

💡 대각선을 그리고 자르고 지나가는 타일을 직접 셈.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.G.A.2 단계 2

다른 작은 사례.
$3 \times 4$: $\gcd(3, 4) = 1$ 이라 대각선이 격자점을 통과하지 않고 내부 세로선 $2$ 개·가로선 $3$ 개를 가름.
총 $6$.
$3 \times 5$: 세로 $2$ 개·가로 $4$ 개 가름, 총 $7$.

$$3 \times 4: \text{타일} = 6; \quad 3 \times 5: \text{타일} = 7$$

💡 내부 선 하나 가를 때마다 새 타일 하나에 들어감.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

패턴 찾기.
$\gcd(a, b) = 1$ 인 $a \times b$ 격자에서 벌레는 첫 타일 $1$ 개로 출발, 그 후 내부 세로선 ($a - 1$ 개) 또는 내부 가로선 ($b - 1$ 개) 을 가를 때마다 새 타일로 들어감.
총 $= 1 + (a - 1) + (b - 1) = a + b - 1$.

$$\text{지나가는 타일} = a + b - 1 \quad (\gcd(a, b) = 1)$$

💡 타일 $1$ 개에서 시작, 선 하나 넘을 때마다 $+ 1$.

#5 패턴 찾기 4.OA.A.3 단계 4

공식 검증.
$2 \times 3$: $2 + 3 - 1 = 4$.
✓.
$3 \times 5$: $3 + 5 - 1 = 7$.
✓.
그림 결과와 일치.

$$2 + 3 - 1 = 4 \quad\checkmark, \quad 3 + 5 - 1 = 7 \quad\checkmark$$

💡 두 사례에서 모두 들어맞음.

#3 가능성 지우기 6.NS.B.4 단계 5

$\gcd(10, 17) = 1$ 확인.
$17$ 은 소수이고 $10$ 의 약수가 아니므로 공약수는 $1$ 뿐.
단순 공식 적용 가능.

$$\gcd(10, 17) = 1$$

💡 $17$ 이 소수라 gcd 빠르게 확인.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 6

공식 $a + b - 1$ 에 $a = 10, b = 17$ 대입: 타일 $= 10 + 17 - 1 = 26$.

$$10 + 17 - 1 = 26$$

💡 $10$ 과 $17$ 을 공식에 대입.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 7

$26$ 은 (C).

$$26 \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 일치하는 보기 찾기.

[1] #1 5.G.A.2 쉬운 사례 먼저. $2 \times 3$ 격자와 대각선 그리기. 대각선이 내부 세로선 $1$ 개와 내부 가로선 $1$ 개를 가르며 $4$ 개 타

[2] #9 5.G.A.2 다른 작은 사례. $3 \times 4$: $\gcd(3, 4) = 1$ 이라 대각선이 격자점을 통과하지 않고 내부 세로선 $2$ 개·가로선 $

[3] #5 4.OA.C.5 패턴 찾기. $\gcd(a, b) = 1$ 인 $a \times b$ 격자에서 벌레는 첫 타일 $1$ 개로 출발, 그 후 내부 세로선 ($a -

[4] #5 4.OA.A.3 공식 검증. $2 \times 3$: $2 + 3 - 1 = 4$. ✓. $3 \times 5$: $3 + 5 - 1 = 7$. ✓. 그림 결과

[5] #3 6.NS.B.4 $\gcd(10, 17) = 1$ 확인. $17$ 은 소수이고 $10$ 의 약수가 아니므로 공약수는 $1$ 뿐. 단순 공식 적용 가능.

[6] #7 4.OA.A.3 공식 $a + b - 1$ 에 $a = 10, b = 17$ 대입: 타일 $= 10 + 17 - 1 = 26$.

[7] #3 4.NBT.A.2 $26$ 은 (C).

검토

합리성 확인: 직접 검산: 벌레는 내부 세로선 $9$ 개 ($10$ 열 사이) 와 내부 가로선 $16$ 개 ($17$ 행 사이) 를 가름. $\gcd(10, 17) = 1$ 이라 대각선이 내부 격자점을 절대 지나지 않으니 두 종류 선이 동시에 만나는 일이 없음. $9 + 16 = 25$ 번의 가름 각각이 새 타일로 진입, 시작 타일 $1$ 을 더해 $1 + 25 = 26$. 일반 공식 $a + b - \gcd(a, b)$ 와 일치. $\max(a, b) = 17$ 와 $a + b - 1 = 26$ 사이 범위이므로 합리적. ✓

대안 접근: 도구 #1 (그림 그리기): 격자 종이에 $10 \times 17$ 직사각형과 대각선을 그려 직접 셀 수도 있음. $\gcd = 1$ 이면 대각선이 격자점을 안 지나니 세기 모호함 없음. 또는 공식 $a + b - \gcd(a, b)$ 의 일반형 (공약수가 있는 경우의 일반화) 사용. 어느 쪽이든 답 $26$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.G.A.2 점을 좌표 평면에 표시해 문제 표현 (작은 $2 \times 3$, $3 \times 4$, $3 \times 5$ 격자와 대각선을 그려 타일 수 직접 셈.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 생성 (작은 사례 결과를 $\gcd(a, b) = 1$ 일 때 $a + b - 1$ 공식으로 일반화.)
4.OA.A.3 여러 단계 응용 문제를 사칙연산으로 풀기 ($2 \times 3$, $3 \times 5$ 에서 공식 검증, $a = 10, b = 17$ 대입해 $10 + 17 - 1 = 26$ 계산.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수·최소공배수 찾기 ($\gcd(10, 17) = 1$ 확인 (대각선이 격자점을 지나지 않아 단순 공식 적용 가능).)
4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰고 비교하기 (계산값 $26$ 을 (C) 와 매칭.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 패턴 찾기만 알면 풀 수 있어요 — 작은 격자부터 시도. $2 \times 3$ 대각선은 $4$ 칸, $3 \times 5$ 대각선은 $7$ 칸 지남. $\gcd(a, b) = 1$ 이면 공식 $a + b - 1$. $\gcd(10, 17) = 1$ 이므로 벌레는 $10 + 17 - 1 = 26$ 개 타일을 지나감.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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