AMC 10 · 2019 · #11

학년 6 arithmetic

prime-factorizationdivisor-countperfect-squaresexponentsprinciple-of-inclusion-exclusion caseworkcomplementary-counting ↑ 선수 지식: prime-factorizationdivisor-count

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

How many positive integer divisors of $201^9$ are perfect squares or perfect cubes (or both)?
$\textbf{(A) }32 \qquad \textbf{(B) }36 \qquad \textbf{(C) }37 \qquad \textbf{(D) }39 \qquad \textbf{(E) }41$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $201 = 3 \times 67$ 이므로 $201^9 = 3^9 \cdot 67^9$. $201^9$ 의 양의 약수 중 완전제곱수 또는 완전세제곱수(또는 둘 다)의 개수를 구하시오.

주어진 것: $201^9 = 3^9 \cdot 67^9$; 약수는 $0 \le a, b \le 9$ 인 $3^a \cdot 67^b$ 꼴; 완전제곱수는 모든 지수가 짝수; 완전세제곱수는 모든 지수가 $3$ 의 배수; 선택지: $32, 36, 37, 39, 41$

구하는 것: 완전제곱수 또는 완전세제곱수인 약수의 개수

이해

문제 재정리: $201 = 3 \times 67$ 이므로 $201^9 = 3^9 \cdot 67^9$. $201^9$ 의 양의 약수 중 완전제곱수 또는 완전세제곱수(또는 둘 다)의 개수를 구하시오.

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #12 벤 다이어그램, #16 관점 바꾸기, #3 가능성 지우기

도구 #2(나열): 완전제곱수는 짝수 지수, 완전세제곱수는 $3$ 의 배수 지수 — 각각 가능한 $a, b$ 를 나열. 도구 #12(벤): 두 집합은 $6$ 제곱수에서 겹치므로 포함배제 $|\text{sq} \cup \text{cu}| = |\text{sq}| + |\text{cu}| - |\text{both}|$. 도구 #16(관점 바꾸기): "둘 다" 를 빼야 할 겹침으로 잡음. 도구 #3 으로 최종 개수를 선택지와 매칭.

실행 — 정답: C

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.A.1 단계 1

$201$ 을 소인수분해해 약수의 모양을 파악.
$201 = 3 \times 67$ 이고 $67$ 은 소수이므로 $201^9 = 3^9 \cdot 67^9$.
모든 양의 약수는 $0 \le a \le 9$, $0 \le b \le 9$ 인 $3^a \cdot 67^b$ 꼴.

$$201^9 = 3^9 \cdot 67^9 \;\Rightarrow\; \text{약수} = 3^a \cdot 67^b,\; 0 \le a, b \le 9$$

💡 6학년 지수 식: 소인수 모양을 알면 약수 세기가 $a, b$ 고르기로 바뀜.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.A.1 단계 2

$3^a \cdot 67^b$ 가 완전제곱수가 되는 지수를 나열.
각 소수의 지수가 짝수여야 함.
$\{0, \dots, 9\}$ 의 짝수는 $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ — 5개.
$b$ 도 마찬가지.
곱하면 $5 \times 5 = 25$ 개.

$$\text{제곱: } a \in \{0,2,4,6,8\},\; b \in \{0,2,4,6,8\} \;\Rightarrow\; 5 \times 5 = 25$$

💡 6학년: 짝수 지수만 골라 완전제곱수 — $0$ 부터 $9$ 까지 짝수만 세면 됨.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.A.1 단계 3

$3^a \cdot 67^b$ 가 완전세제곱수가 되는 지수를 나열.
각 지수가 $3$ 의 배수여야 함.
$\{0, \dots, 9\}$ 의 $3$ 의 배수는 $\{0, 3, 6, 9\}$ — 4개.
$b$ 도 마찬가지.
곱하면 $4 \times 4 = 16$ 개.

$$\text{세제곱: } a \in \{0,3,6,9\},\; b \in \{0,3,6,9\} \;\Rightarrow\; 4 \times 4 = 16$$

💡 6학년: $3$ 의 배수 지수만 골라 완전세제곱수.

#12 벤 다이어그램 6.NS.B.4 단계 4

겹치는 개수 — 제곱수와 세제곱수가 동시에 되려면 지수가 $6$ 의 배수(짝수이자 $3$ 의 배수).
$\{0, \dots, 9\}$ 의 $6$ 의 배수는 $\{0, 6\}$ — 2개.
곱하면 $2 \times 2 = 4$ 개 (완전 $6$ 제곱수).

$$\text{둘 다: } a \in \{0, 6\},\; b \in \{0, 6\} \;\Rightarrow\; 2 \times 2 = 4$$

💡 6학년 최소공배수: 짝수이자 $3$ 의 배수인 가장 작은 조건은 $6$ 의 배수.

#12 벤 다이어그램 4.OA.A.3 단계 5

포함배제(벤) 적용: 합집합 $=$ 제곱수 $+$ 세제곱수 $-$ 겹침 $= 25 + 16 - 4 = 37$.

$$|\text{sq} \cup \text{cu}| = 25 + 16 - 4 = 37$$

💡 4학년 여러 단계 문장제: 두 묶음을 더하고 두 번 센 부분을 한 번 뺌.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 6

$37$ 을 선택지와 매칭: $(C)$.

$$37 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 4학년: 선택지에서 같은 수를 찾기.

[1] #2 6.EE.A.1 $201$ 을 소인수분해해 약수의 모양을 파악. $201 = 3 \times 67$ 이고 $67$ 은 소수이므로 $201^9 = 3^9 \cdo

[2] #2 6.EE.A.1 $3^a \cdot 67^b$ 가 완전제곱수가 되는 지수를 나열. 각 소수의 지수가 짝수여야 함. $\{0, \dots, 9\}$ 의 짝수는 $

[3] #2 6.EE.A.1 $3^a \cdot 67^b$ 가 완전세제곱수가 되는 지수를 나열. 각 지수가 $3$ 의 배수여야 함. $\{0, \dots, 9\}$ 의 $3

[4] #12 6.NS.B.4 겹치는 개수 — 제곱수와 세제곱수가 동시에 되려면 지수가 $6$ 의 배수(짝수이자 $3$ 의 배수). $\{0, \dots, 9\}$ 의 $6$

[5] #12 4.OA.A.3 포함배제(벤) 적용: 합집합 $=$ 제곱수 $+$ 세제곱수 $-$ 겹침 $= 25 + 16 - 4 = 37$.

[6] #3 4.NBT.A.2 $37$ 을 선택지와 매칭: $(C)$.

검토

합리성 확인: 전체 약수는 $10 \times 10 = 100$ 개. 완전제곱($25$)과 완전세제곱($16$)은 그중 작은 부분집합이고 겹치는 $6$ 제곱수는 단 $4$ 개. 합집합은 $25$ 와 $25 + 16 = 41$ 사이, 겹침이 작으니 $41$ 에 가깝게 — $37$ 은 그 띠에 정확히 들어옴.

대안 접근: 도구 #6(추측·확인) — 직접 열거. $0 \le a, b \le 9$ 인 $(a, b)$ 쌍 $100$ 개를 표로 그려 각 칸이 제곱수·세제곱수·둘 다·아무것도 아님 중 무엇인지 표시. 손은 가지만 기계적으로 같은 $37$ 칸이 나옴.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.A.2 다자릿수 자연수 읽기·쓰기·비교하기 (최종 개수 $37$ 을 선택지와 맞추기.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 문장제 풀기 (세 개수를 $25 + 16 - 4 = 37$ 로 합치기.)
6.EE.A.1 자연수 지수 수식 쓰기·계산하기 (약수를 $3^a \cdot 67^b$ 로 읽고 짝수·$3$ 의 배수 지수 세기.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수·최소공배수 구하기 (완전제곱이자 완전세제곱이 되려면 지수가 $6 = \mathrm{lcm}(2, 3)$ 의 배수임을 파악.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 지수와 최소공배수만 알면 풀 수 있어요! $201^9 = 3^9 \cdot 67^9$ 이라 약수는 $3^a \cdot 67^b$. 제곱수는 짝수 지수 ($5 \times 5 = 25$), 세제곱수는 $3$ 의 배수 지수 ($4 \times 4 = 16$), 둘 다는 $6$ 의 배수 지수 ($2 \times 2 = 4$). 포함배제: $25 + 16 - 4 = \mathbf{37}$, 답 $(C)$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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