AMC 10 · 2019 · #12

학년 6 arithmetic

mean-median-mode-rangeweighted-averagepattern-recognition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Melanie computes the mean $\mu$ , the median $M$ , and the modes of the $365$ values that are the dates in the months of $2019$ . Thus her data consist of $12$ $1\text{s}$ , $12$ $2\text{s}$ , . . . , $12$ $28\text{s}$ , $11$ $29\text{s}$ , $11$ $30\text{s}$ , and $7$ $31\text{s}$ . Let $d$ be the median of the modes. Which of the following statements is true?

$\textbf{(A) } \mu < d < M \qquad\textbf{(B) } M < d < \mu \qquad\textbf{(C) } d = M =\mu \qquad\textbf{(D) } d < M < \mu \qquad\textbf{(E) } d < \mu < M$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\mu < d < M$

(B)

$M < d < \mu$

(C)

$d = M = \mu$

(D)

$d < M < \mu$

(E)

$d < \mu < M$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $2019$ 년의 매 날짜를 "일" 숫자만 적으면 $1, 2, \dots, 28$ 은 각각 $12$ 번(모든 달에 있음), $29, 30$ 은 각각 $11$ 번(2월 제외), $31$ 은 $7$ 번(31일이 있는 7개 달) 나옴. 평균 $\mu$, 중앙값 $M$, 그리고 최빈값들의 중앙값 $d$ 의 대소 관계를 구하시오.

주어진 것: 전체 $365$ 개: $1$~$28$ 각 $12$ 번, $29, 30$ 각 $11$ 번, $31$ 은 $7$ 번; $\mu = 365$ 개 값의 평균; $M = 365$ 개 값의 중앙값; $d = $ 최빈값들의 중앙값; 선택지는 $\mu, M, d$ 의 순서 관계

구하는 것: $\mu < d < M$, $M < d < \mu$, $d = M = \mu$, $d < M < \mu$, $d < \mu < M$ 중 어느 것이 참인지

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #15 다르게 정리하기, #3 가능성 지우기

도구 #2(나열): 각 값과 도수를 표로 만들면 중앙값 위치와 최빈값 집합을 바로 읽음. 도구 #15(다르게 정리): 누적도수를 옆에 적어 두면 $183$ 번째 항목이 어느 값에 떨어지는지 한 줄 스캔으로 끝. 평균은 "낮게 표본된" $29, 30, 31$ 때문에 중앙값보다 작아지고, 최빈값들의 중앙값 $14.5$ 보다는 커지는 것을 비교 추론. 도구 #3 으로 네 오답 제거.

실행 — 정답: E

#2 빠짐없이 나열하기 6.SP.B.5 단계 1

도수표를 만든다.
$1$~$28$ 은 각 $12$ 번, $29, 30$ 은 각 $11$ 번, $31$ 은 $7$ 번.
합계 확인: $12 \cdot 28 + 11 \cdot 2 + 7 = 336 + 22 + 7 = 365$.
$2019$ 년의 $365$ 일과 일치.

$$12 \cdot 28 + 11 \cdot 2 + 7 = 336 + 22 + 7 = 365$$

💡 6학년 자료 정리: 도수만 잘 적어두면 이후 질문은 표 보기.

#2 빠짐없이 나열하기 6.SP.A.3 단계 2

최빈값 찾기.
가장 큰 도수는 $12$ 이고 그 도수를 가진 값은 $\{1, 2, \dots, 28\}$.
따라서 최빈값들의 집합은 $\{1, 2, \dots, 28\}$.
짝수 개수($28$ 개)이므로 중앙값 $d$ 는 $14$ 번째와 $15$ 번째의 평균 — $\frac{14 + 15}{2} = 14.5$.

$$\text{최빈값} = \{1, 2, \dots, 28\},\quad d = \frac{14 + 15}{2} = 14.5$$

💡 6학년 대표값: 짝수 길이 자료의 중앙값은 가운데 두 값의 평균.

#15 다르게 정리하기 6.SP.A.3 단계 3

전체 $365$ 개 값의 중앙값 $M$.
중앙 위치는 $\frac{365+1}{2} = 183$ 번째.
누적도수로 보면 $15$ 까지 누적은 $12 \cdot 15 = 180$, $16$ 은 $181$ ~ $192$ 번째 자리.
$183$ 번째는 $16$ — 따라서 $M = 16$.

$$12 \cdot 15 = 180 < 183 \le 192 = 12 \cdot 16 \;\Rightarrow\; M = 16$$

💡 6학년 중앙값: 누적도수 띠가 가운데 자리에 어느 값을 놓는지 알려줌.

#15 다르게 정리하기 6.SP.A.3 단계 4

평균 $\mu$ 와 $M = 16$ 비교.
만약 $1$~$31$ 이 모두 같은 횟수씩 있다면 평균은 $1$~$31$ 의 평균 $16$ — 중앙값과 같음.
실제로는 큰 쪽 $29, 30, 31$ 이 표본 부족($29, 30$ 은 $1$ 회씩, $31$ 은 $5$ 회 모자람).
큰 값이 빠지면 평균이 끌려 내려가므로 $\mu < 16 = M$.

$$\bar{x}(1, \dots, 31) = 16,\;\text{큰 값 표본 부족} \;\Rightarrow\; \mu < 16 = M$$

💡 6학년: 큰 값을 덜 세면 평균이 중앙값 아래로 내려감.

#15 다르게 정리하기 6.SP.A.3 단계 5

$\mu$ 와 $d = 14.5$ 비교.
$1$~$28$ 만의 평균이 정확히 $14.5$.
실제 자료는 그 위에 $29$ 가 $11$ 개, $30$ 이 $11$ 개, $31$ 이 $7$ 개 더 붙어 있는 모양 — 추가된 값들이 모두 $14.5$ 보다 크므로 평균을 위로 끌어올림.
따라서 $\mu > d = 14.5$.

$$\bar{x}(1, \dots, 28) = 14.5,\;\text{추가된 } 29, 30, 31 > 14.5 \;\Rightarrow\; \mu > d = 14.5$$

💡 6학년: $14.5$ 보다 큰 값을 더 더하면 평균이 $14.5$ 위로 올라감.

#3 가능성 지우기 6.NS.C.7 단계 6

두 부등식을 잇기: $d = 14.5 < \mu < 16 = M$.
곧 $d < \mu < M$ — 선택지 $(E)$.
나머지 선택지는 모두 평균이 $M$ 보다 크거나 $d$ 가 $\mu$ 보다 크다고 주장하므로 자료와 안 맞음.

$$d = 14.5 < \mu < 16 = M \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 6학년 수 정렬: 두 비교를 한 줄 부등식으로 연결.

[1] #2 6.SP.B.5 도수표를 만든다. $1$~$28$ 은 각 $12$ 번, $29, 30$ 은 각 $11$ 번, $31$ 은 $7$ 번. 합계 확인: $12 \cd

[2] #2 6.SP.A.3 최빈값 찾기. 가장 큰 도수는 $12$ 이고 그 도수를 가진 값은 $\{1, 2, \dots, 28\}$. 따라서 최빈값들의 집합은 ${1,

[3] #15 6.SP.A.3 전체 $365$ 개 값의 중앙값 $M$. 중앙 위치는 $\frac{365+1}{2} = 183$ 번째. 누적도수로 보면 $15$ 까지 누적은 $

[4] #15 6.SP.A.3 평균 $\mu$ 와 $M = 16$ 비교. 만약 $1$~$31$ 이 모두 같은 횟수씩 있다면 평균은 $1$~$31$ 의 평균 $16$ — 중앙값

[5] #15 6.SP.A.3 $\mu$ 와 $d = 14.5$ 비교. $1$~$28$ 만의 평균이 정확히 $14.5$. 실제 자료는 그 위에 $29$ 가 $11$ 개, $3

[6] #3 6.NS.C.7 두 부등식을 잇기: $d = 14.5 < \mu < 16 = M$. 곧 $d < \mu < M$ — 선택지 $(E)$. 나머지 선택지는 모두 평

검토

합리성 확인: 직접 계산으로 확인. 총합 $= 12 \cdot \tfrac{28 \cdot 29}{2} + 11 \cdot 29 + 11 \cdot 30 + 7 \cdot 31 = 12 \cdot 406 + 319 + 330 + 217 = 4872 + 866 = 5738$, 따라서 $\mu = \frac{5738}{365} \approx 15.72$. $14.5 < 15.72 < 16$ — 정확히 $d < \mu < M$.

대안 접근: 도구 #6(추측·확인) — 선택지에서 빠르게 좁히기. 최빈값 집합 $\{1, \dots, 28\}$ 은 분명히 낮은 쪽으로 치우치므로 $d$ 는 세 값 중 가장 작아야 함 → $(A), (B), (C)$ 즉시 제거. 남은 $(D), (E)$ 는 "평균이 $M = 16$ 보다 위인가 아래인가" 만 따지면 됨. 큰 값 $29, 30, 31$ 이 부족해 평균이 $16$ 아래로 떨어지므로 $(D)$ 도 탈락, 답은 $(E)$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.NS.C.7 유리수의 순서와 절댓값 이해하기 ($14.5 < \mu < 16$ 을 $d < \mu < M$ 으로 연결.)
6.SP.A.3 대표값이 모든 자료를 하나의 수로 요약함을 이해하기 (평균·중앙값·최빈값들의 중앙값을 계산하고 비교.)
6.SP.B.5 수치 자료의 관측 수와 대표값 요약하기 ($365$ 개 날짜 값의 도수표 작성.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 평균·중앙값·최빈값만 알면 풀 수 있어요! $1$~$28$ 은 모두 $12$ 번씩 나타나 함께 최빈값 — 그들의 중앙값 $d = \frac{14 + 15}{2} = 14.5$. 정렬한 $365$ 개의 $183$ 번째는 $16$ 자리에 떨어져 $M = 16$. $1$~$31$ 이 모두 같다면 평균도 $16$ 이지만 $29, 30, 31$ 이 모자라 평균은 $16$ 아래($\approx 15.72$). 결국 $d < \mu < M$, 답 $(E)$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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