AMC 10 · 2019 · #16
학년 8 geometry-2d문제
The figure below shows circles of radius within a larger circle. All the intersections occur at points of tangency. What is the area of the region, shaded in the figure, inside the larger circle but outside all the circles of radius 1 ?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 반지름이 $1$ 인 작은 원 $13$ 개가 큰 원 하나 안에 들어 있습니다. 모든 만남은 "접점" 이라 서로 겹치는 영역은 없습니다. 큰 원 안쪽이지만 작은 원 $13$ 개의 바깥쪽인 색칠된 영역의 넓이를 구하세요.
주어진 것: 반지름 $1$ 인 작은 원 $13$ 개; 모든 교점은 접점 — 작은 원끼리 겹치지 않고, 바깥쪽 작은 원들은 큰 원에 내접; 그림에서: 중심에 1개, 그 주위에 정육각형으로 6개 (중심에서 거리 $2$), 큰 원에 접하는 바깥쪽 6개 (중심에서 거리 $2\sqrt{3}$); 선택지: (A) $4\pi\sqrt{3}$, (B) $7\pi$, (C) $\pi(3\sqrt{3}+2)$, (D) $10\pi(\sqrt{3}-1)$, (E) $\pi(\sqrt{3}+6)$
구하는 것: 색칠된 영역 (큰 원 $-$ 작은 원 $13$ 개) 의 넓이
이해
문제 재정리: 반지름이 $1$ 인 작은 원 $13$ 개가 큰 원 하나 안에 들어 있습니다. 모든 만남은 "접점" 이라 서로 겹치는 영역은 없습니다. 큰 원 안쪽이지만 작은 원 $13$ 개의 바깥쪽인 색칠된 영역의 넓이를 구하세요.
주어진 것: 반지름 $1$ 인 작은 원 $13$ 개; 모든 교점은 접점 — 작은 원끼리 겹치지 않고, 바깥쪽 작은 원들은 큰 원에 내접; 그림에서: 중심에 1개, 그 주위에 정육각형으로 6개 (중심에서 거리 $2$), 큰 원에 접하는 바깥쪽 6개 (중심에서 거리 $2\sqrt{3}$); 선택지: (A) $4\pi\sqrt{3}$, (B) $7\pi$, (C) $\pi(3\sqrt{3}+2)$, (D) $10\pi(\sqrt{3}-1)$, (E) $\pi(\sqrt{3}+6)$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기
도구 #7 (쪼개기): 색칠 넓이 $=$ (큰 원 넓이) $-$ ($13 \times$ 작은 원 넓이). 그러므로 큰 원의 반지름 $R$ 만 알면 충분. 도구 #1 (그림): 작은 원들의 중심을 찍어 보면, 세 바깥쪽 원의 중심들이 정삼각형을 이루고, 간단한 직각삼각형 계산으로 $R$ 이 정해집니다.
실행 — 정답: A
4.G.A.1 단계 1 - 외접하는 두 원의 중심은 $1+1 = 2$ 만큼 떨어져 있습니다.
- 중심에 있는 원과 정육각형 모양으로 둘러싼 첫 번째 고리의 $6$ 개 원은 모두 서로 외접하므로, 첫 번째 고리 원의 중심은 원점에서 거리 $2$.
💡 외접하는 원의 중심들은 두 반지름의 합만큼 떨어져 있음.
8.G.B.7 단계 2 - 그림의 좌표로 보면 가장 바깥쪽 고리에서 맨 위에 있는 원의 중심은 $(0, 2\sqrt{3})$.
- 즉 바깥쪽 고리 원의 중심들은 원점에서 거리 $2\sqrt{3}$.
- (이는 외접 단위원 중심들이 만드는 정삼각형 높이를 쌓아 올린 결과.)
💡 외접 단위원 세 개의 중심은 정삼각형 — 그 높이 $\sqrt{3}$ 이 바깥으로 쌓임.
4.G.A.1 단계 3 바깥쪽 고리 원은 큰 원에 내접하므로, $R = $ (그 중심까지 거리) $+ 1 = 2\sqrt{3} + 1$.
💡 내접: 큰 원 반지름 $=$ 작은 원 중심까지 거리 $+$ 작은 원 반지름.
7.G.B.4 단계 4 - 큰 원 넓이 계산.
- $(2\sqrt{3}+1)^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 12 + 4\sqrt{3} + 1 = 13 + 4\sqrt{3}$.
💡 원 넓이는 $\pi r^2$ — 반지름을 제곱.
7.G.B.4 단계 5 작은 원 한 개의 넓이는 $\pi \cdot 1^2 = \pi$ 이고 $13$ 개 합은 $13\pi$.
💡 같은 크기 조각 $13$ 개 — 그냥 곱하기.
7.NS.A.1 단계 6 - 색칠 넓이 $=$ 큰 원 $-$ 작은 원들 $= \pi(13 + 4\sqrt{3}) - 13\pi = 4\pi\sqrt{3}$.
- 선택지 (A) 와 일치.
💡 $13\pi$ 가 소거 — $\sqrt{3}$ 부분만 남음.
4.G.A.1 외접하는 두 원의 중심은 $1+1 = 2$ 만큼 떨어져 있습니다. 중심에 있는 원과 정육각형 모양으로 둘러싼 첫 번째 고리의 $6$ 개 원은 모 8.G.B.7 그림의 좌표로 보면 가장 바깥쪽 고리에서 맨 위에 있는 원의 중심은 $(0, 2\sqrt{3})$. 즉 바깥쪽 고리 원의 중심들은 원점에서 거리 4.G.A.1 바깥쪽 고리 원은 큰 원에 내접하므로, $R = $ (그 중심까지 거리) $+ 1 = 2\sqrt{3} + 1$. 7.G.B.4 큰 원 넓이 계산. $(2\sqrt{3}+1)^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 7.G.B.4 작은 원 한 개의 넓이는 $\pi \cdot 1^2 = \pi$ 이고 $13$ 개 합은 $13\pi$. 7.NS.A.1 색칠 넓이 $=$ 큰 원 $-$ 작은 원들 $= \pi(13 + 4\sqrt{3}) - 13\pi = 4\pi\sqrt{3}$. 선택지 (A) 검토
합리성 확인: $4\pi\sqrt{3} \approx 4 \cdot 3.14 \cdot 1.73 \approx 21.8$. 큰 원 넓이는 약 $62.6$, 작은 원 $13$ 개 합은 약 $40.8$, 차이는 약 $21.8$ — 일치. 선택지 (B) $7\pi \approx 22.0$ 은 위험하게 가까운데, $(2\sqrt{3}+1)^2$ 의 교차항 $4\sqrt{3}$ 을 빼먹고 $12 + 1 = 13$ 으로 계산한 함정 답.
대안 접근: 도구 #10 (직접 만져보기): 단위원 종이 $13$ 장을 잘라 중앙 1, 첫 고리 6, 바깥 고리 6 으로 트레이 위에 놓아 보면 트레이 (큰 원) 의 지름이 $2(2\sqrt{3}+1)$ 이 되는 것을 직접 확인할 수 있어 $R = 2\sqrt{3}+1$ 을 별도 계산 없이 검증 가능.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
4.G.A.1점, 직선, 선분, 반직선, 각 그리기 및 도형에서 식별 (외접하는 단위원들의 중심을 찍고 중심 간 거리 $2$ 를 추적.)7.G.B.4원의 넓이와 둘레 공식 알기 (큰 원과 각 작은 원의 $\pi r^2$ 계산.)7.NS.A.1유리수 덧셈·뺄셈 확장 ($\pi(13 + 4\sqrt{3})$ 에서 $13\pi$ 를 빼서 소거.)8.G.B.7직각삼각형에서 피타고라스 정리로 변의 길이 구하기 (정삼각형 높이 $\sqrt{3}$ ($30$-$60$-$90$ 논증) 으로 $2\sqrt{3}$ 거리 도출.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 직각삼각형 기하만 알면 풀 수 있어요 — 큰 원 반지름이 $2\sqrt{3}+1$ 임을 보면 $\pi(13+4\sqrt{3}) - 13\pi$ 가 깔끔히 $4\pi\sqrt{3}$ 로 정리됩니다. 답은 $\textbf{(A)}$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 직각삼각형 기하만 알면 풀 수 있어요 — 큰 원 반지름이 $2\sqrt{3}+1$ 임을 보면 $\pi(13+4\sqrt{3}) - 13\pi$ 가 깔끔히 $4\pi\sqrt{3}$ 로 정리됩니다. 답은 $\textbf{(A)}$.
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