AMC 10 · 2019 · #18

학년 8 rate-ratio

base-conversionsequences-geometriclinear-diophantinedigit-constraints convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: base-conversionsequences-geometric

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

For some positive integer $k$ , the repeating base- $k$ representation of the (base-ten) fraction $\frac{7}{51}$ is $0.\overline{23}_k = 0.232323..._k$ . What is $k$ ?

$\textbf{(A) } 13 \qquad\textbf{(B) } 14 \qquad\textbf{(C) } 15 \qquad\textbf{(D) } 16 \qquad\textbf{(E) } 17$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 진수 $k$ 에서 $\frac{7}{51}$ 을 $k$ 진법 "소수" 로 적으면 순환소수 $0.232323\ldots_k$ 가 됩니다. 양의 정수 $k$ 를 구하세요.

주어진 것: $k$ 진법에서 $0.\overline{23}_k = 0.232323\ldots_k$; 그 값이 $10$ 진법으로는 $\frac{7}{51}$; 선택지: (A) $13$, (B) $14$, (C) $15$, (D) $16$, (E) $17$; $2, 3$ 이 $k$ 진법의 유효 숫자이므로 $k \geq 4$

구하는 것: 정수 진법 $k$

이해

문제 재정리: 어떤 진수 $k$ 에서 $\frac{7}{51}$ 을 $k$ 진법 "소수" 로 적으면 순환소수 $0.232323\ldots_k$ 가 됩니다. 양의 정수 $k$ 를 구하세요.

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #13 대수로 바꾸기

도구 #3 (지우기): $k$ 의 후보는 단 $5$ 개 — 각각 대입해 $\frac{7}{51}$ 과 비교하면 됩니다. 도구 #6 (추측하고 확인): 각 선택지를 대입해 한 번의 산수 검증. 도구 #13 (대수): 등식 $\frac{2k+3}{k^2-1} = \frac{7}{51}$ 을 세워 검사 대상 식을 명확히 합니다.

실행 — 정답: D

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.1 단계 1

$k$ 진법 순환을 분수로 변환.
$0.\overline{23}_k = \frac{2k+3}{k^2} + \frac{2k+3}{k^4} + \cdots$ 는 초항 $\frac{2k+3}{k^2}$, 공비 $\frac{1}{k^2}$ 인 등비급수이므로 합은 $\frac{(2k+3)/k^2}{1-1/k^2} = \frac{2k+3}{k^2-1}$.

$$0.\overline{23}_k = \dfrac{2k+3}{k^2-1}$$

💡 $10$ 진법 $0.\overline{ab} = \frac{10a+b}{99}$ 와 같은 원리 — $10 \to k$, $99 \to k^2-1$.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 2

$\frac{7}{51}$ 과 같다 놓고 교차곱: $51(2k+3) = 7(k^2-1)$, 전개하면 $102k + 153 = 7k^2 - 7$.
정리: $7k^2 - 102k - 160 = 0$.

$$7k^2 - 102k - 160 = 0$$

💡 분수를 없애려 교차곱한 뒤 한 변에 모음.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 3

객관식의 장점 활용: $13, 14, 15, 16, 17$ 을 차례로 $7k^2 - 102k - 160$ 에 대입해 $0$ 이 되는 값을 찾기.
$k = 16$ 시도: $7 \cdot 256 - 102 \cdot 16 - 160 = 1792 - 1632 - 160 = 0$.
적중.
(참고: $k = 13$ 은 $-303$.)

$$k = 16: \;\; 7(256) - 102(16) - 160 = 1792 - 1632 - 160 = 0 \checkmark$$

💡 다섯 후보, 한 식, 각각 대입 한 번 — 직접 지우기.

#6 추측하고 확인하기 4.NF.A.1 단계 4

재확인: $0.\overline{23}_{16} = \frac{2 \cdot 16 + 3}{16^2 - 1} = \frac{35}{255} = \frac{7}{51}$ (분자·분모를 $5$ 로 나눔).
일치.
답은 (D) $16$.

$$\dfrac{35}{255} = \dfrac{7}{51} \;\Rightarrow\; \textbf{(D) } 16$$

💡 $35/255$ 를 $\gcd = 5$ 로 약분 — 정확히 $7/51$.

[1] #13 8.EE.A.1 $k$ 진법 순환을 분수로 변환. $0.\overline{23}_k = \frac{2k+3}{k^2} + \frac{2k+3}{k^4} + \c

[2] #13 8.EE.C.7 $\frac{7}{51}$ 과 같다 놓고 교차곱: $51(2k+3) = 7(k^2-1)$, 전개하면 $102k + 153 = 7k^2 - 7$.

[3] #3 6.EE.B.5 객관식의 장점 활용: $13, 14, 15, 16, 17$ 을 차례로 $7k^2 - 102k - 160$ 에 대입해 $0$ 이 되는 값을 찾기.

[4] #6 4.NF.A.1 재확인: $0.\overline{23}_{16} = \frac{2 \cdot 16 + 3}{16^2 - 1} = \frac{35}{255} =

검토

합리성 확인: $\frac{7}{51} \approx 0.1373$. $16$ 진법 $0.\overline{23}_{16} = \frac{35}{255} \approx 0.1373$ — 일치. 다른 선택지는 $k = 13 \to \frac{29}{168}$, $k = 14 \to \frac{31}{195}$, $k = 15 \to \frac{33}{224}$, $k = 17 \to \frac{37}{288}$ — 모두 $\frac{7}{51}$ 과 다름. (D) 만 통과.

대안 접근: 도구 #15 (다르게 정리): $7k^2 - 102k - 160$ 을 인수분해 시도 — $(7k + 10)(k - 16) = 7k^2 - 112k + 10k - 160 = 7k^2 - 102k - 160$ 일치. 따라서 $k = 16$ (양의 근) 또는 $k = -10/7$ (기각). 선택지 대입 없이 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.NF.A.1 분수가 다른 분수와 동치인 이유 설명 ($\frac{35}{255}$ 를 $\gcd = 5$ 로 나누어 $\frac{7}{51}$ 로 약분.)
6.EE.B.5 방정식·부등식을 만족하는 값을 찾는 과정 이해 (후보 $k \in \{13, \ldots, 17\}$ 을 식에 대입·검증.)
8.EE.A.1 정수 지수의 성질 알기·적용 (등비급수 $\sum k^{-2n}$ 의 폐쇄형 $\frac{2k+3}{k^2-1}$ 도출.)
8.EE.C.7 일변수 일차 (·이차) 방정식 풀이 ($51(2k+3) = 7(k^2-1)$ 을 표준 이차식으로 정리.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 방정식 풀이만 알면 풀 수 있어요 — $k$ 진법 순환을 $\frac{2k+3}{k^2-1}$ 로 바꾸고 $\frac{7}{51}$ 과 같다 놓고 후보를 대입하면 $k = 16$. 답은 $\textbf{(D)}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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