AMC 10 · 2019 · #19

학년 8 arithmetic

polynomial-substitutiondifference-of-squaresperfect-squarespolynomial-factoring identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: polynomial-substitutiondifference-of-squares

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

What is the least possible value of
$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+2019$ where $x$ is a real number?

$\textbf{(A) } 2017 \qquad\textbf{(B) } 2018 \qquad\textbf{(C) } 2019 \qquad\textbf{(D) } 2020 \qquad\textbf{(E) } 2021$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2017

(B)

2018

(C)

2019

(D)

2020

(E)

2021

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 실수 $x$ 에 대해 $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + 2019$ 가 가질 수 있는 가장 작은 값을 구하세요.

주어진 것: 식: $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + 2019$; $x$ 는 모든 실수 범위; 선택지: (A) $2017$, (B) $2018$, (C) $2019$, (D) $2020$, (E) $2021$

구하는 것: 이 식의 실수 범위 최솟값

이해

문제 재정리: 실수 $x$ 에 대해 $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + 2019$ 가 가질 수 있는 가장 작은 값을 구하세요.

주어진 것: 식: $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + 2019$; $x$ 는 모든 실수 범위; 선택지: (A) $2017$, (B) $2018$, (C) $2019$, (D) $2020$, (E) $2021$

계획

주요 도구: #15 다르게 정리하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기

도구 #15 (다르게 정리): 네 인수가 복잡해 보이지만 $(x+1)(x+4)$ 와 $(x+2)(x+3)$ 로 묶으면 두 곱 모두 $x^2 + 5x + \text{상수}$ 형태 — 같은 "숨은 양" 이 나타남. 도구 #7 (쪼개기): 그 양을 $u$ 로 치환해 4차식을 2차식 형태로 축소. 도구 #13 (대수): 완전제곱 + 상수로 마무리.

실행 — 정답: B

#15 다르게 정리하기 6.EE.A.3 단계 1

인수를 영리하게 짝지음: $(x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4$, $(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$.
두 곱 모두 $x^2 + 5x$ 라는 공통 덩어리를 가짐.

$$(x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4,\quad (x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$$

💡 바깥과 안쪽을 짝지으면 두 곱이 같은 $x^2 + 5x$ 를 공유.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.EE.A.1 단계 2

$u = x^2 + 5x + 5$ (상수 $4$ 와 $6$ 의 중점) 로 치환.
그러면 $(x+1)(x+4) = u - 1$, $(x+2)(x+3) = u + 1$.
원래 곱은 차의 제곱 공식 $(u-1)(u+1) = u^2 - 1$.

$$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = (u-1)(u+1) = u^2 - 1$$

💡 중점 기준 대칭 라벨 $\Rightarrow$ 차의 제곱 공식 $(u-1)(u+1) = u^2 - 1$.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 3

$+ 2019$ 를 더하면 $u^2 - 1 + 2019 = u^2 + 2018$.
모든 실수 $u$ 에 대해 $u^2 \geq 0$ 이므로 최솟값은 $u = 0$ 일 때 $2018$.

$$u^2 + 2018 \geq 2018,\;\text{등호는 } u = 0$$

💡 제곱은 $\geq 0$ — 상수만 더하면 바닥값이 보임.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 4

$u = 0$ 이 실제로 가능한지 확인.
$u = x^2 + 5x + 5 = 0$ 의 해는 $x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 20}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{2}$ — 실수 해 존재.
따라서 최솟값 $2018$ 은 실제로 달성.
답은 (B).

$$x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{5}}{2} \Rightarrow \min = 2018 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 이차식 $u(x) = 0$ 의 실수 근 존재 $\Rightarrow$ 하한 $2018$ 달성.

[1] #15 6.EE.A.3 인수를 영리하게 짝지음: $(x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4$, $(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$. 두 곱 모두 $

[2] #7 7.EE.A.1 $u = x^2 + 5x + 5$ (상수 $4$ 와 $6$ 의 중점) 로 치환. 그러면 $(x+1)(x+4) = u - 1$, $(x+2)(x+

[3] #13 8.EE.A.2 $+ 2019$ 를 더하면 $u^2 - 1 + 2019 = u^2 + 2018$. 모든 실수 $u$ 에 대해 $u^2 \geq 0$ 이므로 최솟

[4] #13 8.EE.A.2 $u = 0$ 이 실제로 가능한지 확인. $u = x^2 + 5x + 5 = 0$ 의 해는 $x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 -

검토

합리성 확인: 대칭축 $x = -2.5$ 대입: 인수는 $-1.5, -0.5, 0.5, 1.5$, 곱은 $(1.5 \cdot 0.5)^2 = 0.5625$, 식값 $= 2019.5625$ — 최솟값 $2018$ 보다 위, 합리적. $x \approx -1.382$ 대입: 인수가 약 $-0.382, 0.618, 1.618, 2.618$, 곱 $\approx -1$, $+2019 \to 2018$. 일치. (A) $2017$ 은 $u^2 - 1 + 2019 = u^2 + 2018$ 에서 부호 실수로 $2017$ 로 오답하는 함정.

대안 접근: 도구 #5 (패턴): $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ 를 $x$ 의 4차식으로 전개해 미분으로 임계점 찾기. 대칭축 $x = -2.5$ 부근에서 $x = -2.5 \pm \sqrt{5}/2$ 일 때 곱 $= -1$, 식값 $= 2018$. 같은 답, 더 많은 계산.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.3 연산의 성질을 적용해 동치 표현 생성 ($(x+1)(x+4)$, $(x+2)(x+3)$ 을 $x^2 + 5x + 4$, $x^2 + 5x + 6$ 으로 전개.)
7.EE.A.1 일차 표현식의 덧셈·뺄셈·인수분해·전개 ($u = x^2 + 5x + 5$ 치환과 $(u-1)(u+1) = u^2 - 1$ 활용.)
8.EE.A.2 제곱근·세제곱근 기호로 해 표현 ($u = 0$ 의 실수 해 존재 확인 및 최솟값 $2018$ 결정.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 완전제곱과 치환만 알면 풀 수 있어요 — $(x+1)(x+4)$ 와 $(x+2)(x+3)$ 를 묶고 $u = x^2 + 5x + 5$ 로 치환하면 $u^2 + 2018$ 이 되어 $u^2 \geq 0$ 이므로 최솟값 $2018$. 답은 $\textbf{(B)}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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