AMC 10 · 2019 · #2

학년 5 arithmetic

factorialprime-factorizationlegendre-formuladigit-decompositionplace-value identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: factorialprime-factorization

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문제

What is the hundreds digit of $(20!-15!)?$

$\textbf{(A) }0\qquad\textbf{(B) }1\qquad\textbf{(C) }2\qquad\textbf{(D) }4\qquad\textbf{(E) }5$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $20! - 15!$ 의 백의 자리 숫자를 구하세요. 여기서 $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$ 입니다.

주어진 것: $20! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 20$; $15! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 15$; $20! - 15!$ 의 백의 자리($100$ 의 자리) 숫자만 필요; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: $20! - 15!$ 의 백의 자리 숫자

이해

문제 재정리: $20! - 15!$ 의 백의 자리 숫자를 구하세요. 여기서 $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$ 입니다.

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #16 관점 바꾸기

도구 #9(더 쉬운 문제): $20!$, $15!$ 을 직접 계산할 수 없으므로 더 작은 질문으로 바꿉니다 — '끝 세 자리는 무엇?' 어떤 수의 백의 자리는 $1000$ 으로 나눈 나머지에 의해 결정됩니다. 도구 #5(패턴 찾기): 각 계승 안에 들어 있는 $10$ 의 개수를 셉니다. $2$ 와 $5$ 가 한 쌍씩 짝지을 때마다 끝의 $0$ 이 하나씩 생겨요. 도구 #16(관점 바꾸기): '백의 자리는 무엇?' 대신 '$20! - 15!$ 이 $1000$ 의 배수인가?' 를 묻습니다 — 그렇다면 백의 자리는 자동으로 $0$.

실행 — 정답: A

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.B.4 단계 1

$15!$ 안에 있는 $5$ 의 개수를 셉니다.
$5$, $10$, $15$ 가 각각 $5$ 를 한 개씩 내놓아 총 $3$ 개.
$2$ 의 개수는 훨씬 많으니 ($2$ 의 배수가 더 많음) $2 \cdot 5$ 짝이 최소 $3$ 개 — 따라서 $15!$ 은 $10^3 = 1000$ 의 배수입니다.

$15! \supseteq 5 \cdot 10 \cdot 15 \;\Rightarrow\; 5^3 \mid 15!$, $2^3 \mid 15!$ 자명 $\;\Rightarrow\; 1000 \mid 15!$

💡 $5$ 하나와 $2$ 하나가 만나면 끝에 $0$ 하나 — $15!$ 은 끝에 $0$ 이 적어도 셋.

#5 패턴 찾기 4.OA.B.4 단계 2

$20!$ 도 같은 방법으로.
$5$, $10$, $15$, $20$ 이 각각 $5$ 를 하나씩 — 총 $4$ 개.
따라서 $20!$ 은 $10^4 = 10000$ 의 배수, 당연히 $1000$ 의 배수.

$20! \supseteq 5 \cdot 10 \cdot 15 \cdot 20 \;\Rightarrow\; 5^4 \mid 20!$, $2^4 \mid 20!$ 자명 $\;\Rightarrow\; 1000 \mid 20!$

💡 $15!$ 과 같은 패턴, $5$ 가 더 많을 뿐 — 끝의 $0$ 이 더 많아요.

#16 관점 바꾸기 5.NBT.A.1 단계 3

$20!$, $15!$ 모두 $1000$ 의 배수이므로 끝 세 자리는 모두 $000$.
$1000$ 의 배수끼리의 차도 $1000$ 의 배수 — 따라서 $20! - 15!$ 의 끝 세 자리는 $000$.
백의 자리($\ldots 000$ 의 $100$ 자리)는 $0$.

$1000 \mid 20!,\ 1000 \mid 15! \;\Rightarrow\; 1000 \mid (20! - 15!)$, 끝 세 자리 $000 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}\ 0$

💡 $\ldots 000$ 으로 끝나는 수의 백의 자리는 당연히 $0$.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NBT.A.1 단계 4

작은 경우로 점검.
$4! - 2! = 24 - 2 = 22$.
둘 다 $10$ 의 배수가 아니라 끝자리 패턴이 강제되지 않아요.
핵심 원리: 두 계승이 공유하는 끝의 $0$ 개수만큼 차에도 그 $0$ 들이 살아남습니다.
$15!$ 이 이미 끝에 $0$ 세 개를 가져서 — 정확히 우리가 필요한 만큼.

작은 검증: $4! - 2! = 22$ (공통 $0$ 없음). $20! - 15!$ 의 경우 공통 끝 $0$ 가 $\ge 3$ $\Rightarrow$ 끝 세 자리 $000$.

💡 작은 계승부터 다뤄 보면 '끝의 $0$' 규칙이 손에 잡혀요.

[1] #9 4.OA.B.4 $15!$ 안에 있는 $5$ 의 개수를 셉니다. $5$, $10$, $15$ 가 각각 $5$ 를 한 개씩 내놓아 총 $3$ 개. $2$ 의 개수

[2] #5 4.OA.B.4 $20!$ 도 같은 방법으로. $5$, $10$, $15$, $20$ 이 각각 $5$ 를 하나씩 — 총 $4$ 개. 따라서 $20!$ 은 $10

[3] #16 5.NBT.A.1 $20!$, $15!$ 모두 $1000$ 의 배수이므로 끝 세 자리는 모두 $000$. $1000$ 의 배수끼리의 차도 $1000$ 의 배수 —

[4] #9 5.NBT.A.1 작은 경우로 점검. $4! - 2! = 24 - 2 = 22$. 둘 다 $10$ 의 배수가 아니라 끝자리 패턴이 강제되지 않아요. 핵심 원리:

검토

합리성 확인: $1000$ 의 배수는 끝 세 자리가 모두 $0$ — 즉 백·십·일의 자리가 전부 $0$. $20! - 15!$ 이 $1000$ 의 배수이므로 백의 자리는 강제적으로 $0$. 나머지 (B) $1$, (C) $2$, (D) $4$, (E) $5$ 는 $1000$ 으로 나눈 나머지가 $0$ 이 아닌 경우인데 우리 결과는 그렇지 않아 모두 탈락.

대안 접근: 도구 #13(대수): $20! - 15! = 15!\,(16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot 19 \cdot 20 - 1)$. $15!$ 이 $1000$ 의 배수이니 전체도 $1000$ 의 배수. 인수분해로 같은 결론에 도달하는 길.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.OA.B.4 모든 인수쌍과 배수를 찾고 소수·합성수 판별 ($15!$, $20!$ 안에서 $5$ (와 $2$) 의 개수를 세어 둘 다 $1000$ 의 배수임을 확인.)
5.NBT.A.1 한 자리의 값이 그 오른쪽 자리 값의 열 배임을 이해 ($\ldots 000$ 으로 끝나는 수의 백의 자리를 $0$ 으로 읽기.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 "자리값" 만 알면 풀 수 있어요 — $20!$ 도 $15!$ 도 끝에 $0$ 이 세 개 이상이니 차도 끝에 $000$, 백의 자리는 $0$ 이에요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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