AMC 10 · 2019 · #20
학년 7 geometry-2d문제
The numbers are randomly placed into the squares of a grid. Each square gets one number, and each of the numbers is used once. What is the probability that the sum of the numbers in each row and each column is odd?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $1, 2, \ldots, 9$ 를 $3 \times 3$ 격자의 $9$ 칸에 (한 칸에 하나씩, 모두 한 번씩) 무작위로 배치합니다. 모든 행과 모든 열의 합이 동시에 홀수가 될 확률을 구하세요.
주어진 것: $1$ 부터 $9$ 까지의 수: 홀수 $5$ 개 ($1, 3, 5, 7, 9$), 짝수 $4$ 개 ($2, 4, 6, 8$); $9!$ 가지 배치가 모두 등가능; 성공 조건: 모든 행의 합이 홀수 AND 모든 열의 합이 홀수; 선택지: (A) $\tfrac{1}{21}$, (B) $\tfrac{1}{14}$, (C) $\tfrac{5}{63}$, (D) $\tfrac{2}{21}$, (E) $\tfrac{1}{7}$
구하는 것: $6$ 개 행·열 합이 모두 홀수가 될 확률
이해
문제 재정리: $1, 2, \ldots, 9$ 를 $3 \times 3$ 격자의 $9$ 칸에 (한 칸에 하나씩, 모두 한 번씩) 무작위로 배치합니다. 모든 행과 모든 열의 합이 동시에 홀수가 될 확률을 구하세요.
주어진 것: $1$ 부터 $9$ 까지의 수: 홀수 $5$ 개 ($1, 3, 5, 7, 9$), 짝수 $4$ 개 ($2, 4, 6, 8$); $9!$ 가지 배치가 모두 등가능; 성공 조건: 모든 행의 합이 홀수 AND 모든 열의 합이 홀수; 선택지: (A) $\tfrac{1}{21}$, (B) $\tfrac{1}{14}$, (C) $\tfrac{5}{63}$, (D) $\tfrac{2}{21}$, (E) $\tfrac{1}{7}$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #16 관점 바꾸기
도구 #7 (쪼개기): 값은 신경 쓰지 않고 홀/짝 패턴만 본다. 부분 문제 1 — 어떤 $3 \times 3$ 홀짝 패턴이 모든 행·열 합을 홀수로 만드는가? 부분 문제 2 — 그 패턴마다 실제 수 배치는 몇 가지인가? 도구 #2 (나열): 유효 홀짝 패턴 열거. 도구 #16 (관점 바꾸기): 홀 $5$ + 짝 $4$ 라는 고정 합으로 인해 짝수 $4$ 개는 $2 \times 2$ 사각형을 이루도록 강제됨.
실행 — 정답: B
2.OA.C.3 단계 1 - 행의 합이 홀수 $\iff$ 그 행의 홀수 개수가 $\{1, 3\}$ 중 하나.
- 전체 홀수 $5$ 개를 세 행에 나눠야 하는데, 각 행의 홀수 개수가 $1$ 또는 $3$ 인 채로 합이 $5$ 가 되려면 분할은 $5 = 3 + 1 + 1$ (순서 무관).
- 즉 한 행이 "모두 홀수", 나머지 두 행은 각각 "홀 $1$, 짝 $2$".
💡 행 합이 홀수 $\Rightarrow$ 홀수 개수가 홀수 — $5 = 3 + 1 + 1$.
2.OA.C.3 단계 2 - 열 방향도 같은 논리: 한 열이 "모두 홀수", 나머지 두 열은 각각 "홀 $1$, 짝 $2$".
- 두 결과를 종합: 짝수 $4$ 개는 "모두 홀수 행" 도 "모두 홀수 열" 도 아닌 $2$ 행 $\times$ $2$ 열의 교차 $4$ 칸을 차지함 — 짝수가 $2 \times 2$ 직사각형을 이룸.
💡 비특수 $2$ 행 $\times$ 비특수 $2$ 열 $=$ 짝수 자리 정확히 $4$ 칸.
7.SP.C.8 단계 3 - 홀짝 패턴 개수: 모두 홀수 행 선택 $3$ 가지, 모두 홀수 열 선택 $3$ 가지.
- 이로써 패턴이 유일하게 정해짐.
- 총 $3 \cdot 3 = 9$ 가지 유효 패턴.
💡 독립 선택: 모두 홀수 행과 모두 홀수 열을 각각 고름.
7.SP.C.8 단계 4 - 각 패턴마다 실제 수 배치: 홀수 $5$ 개를 홀수 자리 $5$ 칸에 채우는 순서 $5!$, 짝수 $4$ 개를 짝수 자리 $4$ 칸에 채우는 순서 $4!$.
- 패턴당 $5! \cdot 4! = 2880$ 가지.
💡 홀수 자리에 홀수, 짝수 자리에 짝수 — 두 그룹 독립.
7.SP.C.8 단계 5 - 유리한 배치 수: $9 \cdot 5! \cdot 4! = 9 \cdot 2880 = 25920$.
- 전체 배치 수: $9! = 362880$.
- 확률 $= \frac{25920}{362880} = \frac{1}{14}$.
💡 유리 / 전체 — 팩토리얼이 깔끔하게 약분됨.
2.OA.C.3 행의 합이 홀수 $\iff$ 그 행의 홀수 개수가 $\{1, 3\}$ 중 하나. 전체 홀수 $5$ 개를 세 행에 나눠야 하는데, 각 행의 홀수 2.OA.C.3 열 방향도 같은 논리: 한 열이 "모두 홀수", 나머지 두 열은 각각 "홀 $1$, 짝 $2$". 두 결과를 종합: 짝수 $4$ 개는 "모두 홀 7.SP.C.8 홀짝 패턴 개수: 모두 홀수 행 선택 $3$ 가지, 모두 홀수 열 선택 $3$ 가지. 이로써 패턴이 유일하게 정해짐. 총 $3 \cdot 3 = 7.SP.C.8 각 패턴마다 실제 수 배치: 홀수 $5$ 개를 홀수 자리 $5$ 칸에 채우는 순서 $5!$, 짝수 $4$ 개를 짝수 자리 $4$ 칸에 채우는 순 7.SP.C.8 유리한 배치 수: $9 \cdot 5! \cdot 4! = 9 \cdot 2880 = 25920$. 전체 배치 수: $9! = 362880$. 검토
합리성 확인: 다른 형태 검증: $\frac{9 \cdot 5! \cdot 4!}{9!} = \frac{9}{\binom{9}{4}} = \frac{9}{126} = \frac{1}{14}$. $\binom{9}{4} = 126$ 은 $9$ 칸 중 짝수 자리 $4$ 칸을 고르는 경우, 그중 유리한 경우는 $2 \times 2$ 직사각형 ($2$ 행 $\times$ $2$ 열 고르기 $\binom{3}{2}\binom{3}{2} = 9$) — 일치. (A) $\frac{1}{21}$, (C) $\frac{5}{63}$ 등은 행·열 독립 카운팅 실수 시 나올 함정.
대안 접근: 도구 #16 (관점 바꾸기): 짝수가 들어갈 자리 $4$ 칸만 고려. 전체 $\binom{9}{4} = 126$ 중 축에 평행한 $2 \times 2$ 직사각형은 $\binom{3}{2}\binom{3}{2} = 9$ 가지. $P = \frac{9}{126} = \frac{1}{14}$.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
2.OA.C.3수의 묶음이 홀수인지 짝수인지 판단 (행 합이 홀수일 조건은 홀수 개수가 $1$ 또는 $3$ — $5 = 3 + 1 + 1$ 분할.)7.SP.C.8정리된 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (유리 배치 $9 \cdot 5! \cdot 4!$ 대 전체 $9!$ 로 확률 계산.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 7학년 때 배운 홀짝과 세기만 알면 풀 수 있어요 — 짝수 $4$ 개가 $2 \times 2$ 직사각형을 이뤄야 하므로 패턴 $\binom{3}{2}\binom{3}{2} = 9$, 확률 $P = \frac{9}{\binom{9}{4}} = \frac{1}{14}$. 답은 $\textbf{(B)}$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 7학년 때 배운 홀짝과 세기만 알면 풀 수 있어요 — 짝수 $4$ 개가 $2 \times 2$ 직사각형을 이뤄야 하므로 패턴 $\binom{3}{2}\binom{3}{2} = 9$, 확률 $P = \frac{9}{\binom{9}{4}} = \frac{1}{14}$. 답은 $\textbf{(B)}$.