AMC 10 · 2019 · #21

학년 8 geometry-3d

pythagorean-theoremarea-trianglesisosceles-triangleinteger-pythagorean-triplesspatial-visualization identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

A sphere with center $O$ has radius $6$ . A triangle with sides of length $15, 15,$ and $24$ is situated in space so that each of its sides is tangent to the sphere. What is the distance between $O$ and the plane determined by the triangle?

$\textbf{(A) }2\sqrt{3}\qquad \textbf{(B) }4\qquad \textbf{(C) }3\sqrt{2}\qquad \textbf{(D) }2\sqrt{5}\qquad \textbf{(E) }5\qquad$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2\sqrt{3}$

(B)

(C)

$3\sqrt{2}$

(D)

$2\sqrt{5}$

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름 $6$, 중심 $O$ 인 구가 변 길이 $15, 15, 24$ 인 삼각형에 닿아 있어요 — 삼각형의 세 변이 모두 구에 접합니다. $O$ 에서 삼각형이 놓인 평면까지의 거리는?

주어진 것: 구 중심 $O$, 반지름 $R = 6$; 공간 속 삼각형 — 변 길이 $15, 15, 24$; 세 변 모두 구와 접함 (각 변이 구의 한 점에 닿음); 선택지: (A) $2\sqrt{3}$, (B) $4$, (C) $3\sqrt{2}$, (D) $2\sqrt{5}$, (E) $5$

구하는 것: $O$ 에서 삼각형 평면까지의 수직 거리 $d$

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기): (가) 평면 안 15-15-24 삼각형의 내접원 반지름 구하기, (나) 3차원 직각삼각형으로 $d$ 구하기 — 두 단계로 분리. 도구 #1(그림): 삼각형 평면도와 구·평면 옆면도를 그리면 $R^2 = r^2 + d^2$ 관계가 한눈에. 도구 #9(더 쉬운 문제): 15-15-24 를 대칭축으로 자르면 9-12-15 직각삼각형 두 개 — 3-4-5 의 비율 — 넓이가 즉시 나옴.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 1

15-15-24 이등변 삼각형에서 밑변 $24$ 를 가로로 두고 꼭짓점에서 수선을 내려요.
대칭이라 밑변이 $12$ 와 $12$ 로 갈라지고, 한 쪽 직각삼각형은 다리 $12, h$ 빗변 $15$.
$h^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$, 즉 $h = 9$ (3-4-5 의 3배).

$$h = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{81} = 9$$

💡 피타고라스 정리로 이등변을 익숙한 9-12-15 직각삼각형으로 환원.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이 나누기 $2$: $A = \tfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108$.
반둘레는 $s = \tfrac{15+15+24}{2} = 27$.

$$A = 108, \quad s = 27$$

💡 표준 넓이 공식과 둘레의 절반.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 3

구가 세 변에 닿는 세 점은 모두 (가) 삼각형 평면 위, (나) 구 위 — 곧 구·평면 교차원 위에 있어요.
그리고 세 변에 안쪽에서 접하는 원은 바로 내접원.
그러므로 구·평면 단면원이 곧 내접원, 반지름 $r = A/s = 108/27 = 4$.

$$r = \dfrac{A}{s} = \dfrac{108}{27} = 4$$

💡 내접원 반지름 = 넓이 / 반둘레. 그리고 그 원이 바로 구의 단면.

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 4

이제 3차원을 옆에서 봐요.
중심 $O$, 평면 발 $F$ (내접원 중심), 임의 접점 $T$ 가 직각삼각형을 이룹니다: $OT = R = 6$ (구 반지름), $FT = r = 4$ (내접원 반지름), $\angle OFT = 90^\circ$ ($OF \perp$ 평면).

$$OT = 6, \quad FT = 4, \quad \angle OFT = 90^\circ$$

💡 단면원 위 한 점, 평면 발, 구 중심 — 세 점이 3D 직각삼각형.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 5

삼각형 $OFT$ 에 피타고라스 정리 적용: $d^2 + r^2 = R^2$, 즉 $d^2 = 36 - 16 = 20$, $d = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
정답 (D).

$$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{36 - 16} = 2\sqrt{5}$$

💡 피타고라스로 거리 확정 — $R^2 = r^2 + d^2$.

[1] #1 8.G.B.7 15-15-24 이등변 삼각형에서 밑변 $24$ 를 가로로 두고 꼭짓점에서 수선을 내려요. 대칭이라 밑변이 $12$ 와 $12$ 로 갈라지고,

[2] #7 6.G.A.1 삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이 나누기 $2$: $A = \tfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108$. 반둘레는 $s =

[3] #7 7.G.B.4 구가 세 변에 닿는 세 점은 모두 (가) 삼각형 평면 위, (나) 구 위 — 곧 구·평면 교차원 위에 있어요. 그리고 세 변에 안쪽에서 접하는

[4] #1 8.G.B.7 이제 3차원을 옆에서 봐요. 중심 $O$, 평면 발 $F$ (내접원 중심), 임의 접점 $T$ 가 직각삼각형을 이룹니다: $OT = R = 6$

[5] #7 8.G.B.7 삼각형 $OFT$ 에 피타고라스 정리 적용: $d^2 + r^2 = R^2$, 즉 $d^2 = 36 - 16 = 20$, $d = \sqrt{2

검토

합리성 확인: 크기 점검. $2\sqrt{5} \approx 4.47$ 로 구 반지름 $6$ 보다 작음 — 그래야 평면이 구를 가로질러 단면원이 생기고 접점이 존재. $r = 4 < R = 6$ 도 단면원이 대원보다 작다는 자연스러운 사실. 끝으로 $r^2 + d^2 = 16 + 20 = 36 = R^2$ 가 직각관계를 직접 확인.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): $O$ 를 원점, 삼각형 평면을 $z = d$ 로 두고 좌표 설정. 그 평면 안에 중심 $(0, 0, d)$, 반지름 $r$ 인 원을 두고 15-15-24 각 변(평면 안에 매개변수)이 구 $x^2+y^2+z^2=36$ 에 접하도록 요구. 접조건이 $r^2 + d^2 = 36$ 으로 정리되며 $r$ 은 삼각형 기하로 결정 — 같은 답, 더 많은 대수.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.1 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 분해·결합으로 구하기 ($\tfrac{1}{2} \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이}$ 로 삼각형 넓이와 반둘레 계산.)
7.G.B.4 원의 넓이·둘레 공식 알기 (내접원 공식 $r = A/s$ 로 구·평면 단면원의 반지름 도출.)
8.G.B.7 직각삼각형에서 피타고라스 정리로 변 길이 구하기 (15-15-24 를 두 9-12-15 직각삼각형으로 나눠 높이 도출, 그리고 3D 에서 $R^2 = r^2 + d^2$ 로 거리 $d$ 추출.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 피타고라스 정리(두 번 — 삼각형 높이와 구 반지름·내접원 반지름·거리 관계)와 내접원 공식 $r = A/s$ 만 있으면 풀려요 — $d = \sqrt{6^2 - 4^2} = 2\sqrt{5}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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