AMC 10 · 2019 · #22

학년 7 probability

probability-basicgeometric-probabilitycaseworkconditional-probabilityfraction-arithmetic caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basicgeometric-probabilityconditional-probability

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

Real numbers between 0 and 1, inclusive, are chosen in the following manner. A fair coin is flipped. If it lands heads, then it is flipped again and the chosen number is 0 if the second flip is heads, and 1 if the second flip is tails. On the other hand, if the first coin flip is tails, then the number is chosen uniformly at random from the closed interval $[0,1]$ . Two random numbers $x$ and $y$ are chosen independently in this manner. What is the probability that $|x-y| > \tfrac{1}{2}$ ?

$\textbf{(A) } \frac{1}{3} \qquad \textbf{(B) } \frac{7}{16} \qquad \textbf{(C) } \frac{1}{2} \qquad \textbf{(D) } \frac{9}{16} \qquad \textbf{(E) } \frac{2}{3}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{3}$

(B)

$\frac{7}{16}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{9}{16}$

(E)

$\frac{2}{3}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $[0, 1]$ 안의 수 $x$ 를 이렇게 만들어요 — 동전 한 번 던지기. 앞면이면 한 번 더 던져 앞면=$0$, 뒷면=$1$. 뒷면이면 $x$ 를 $[0, 1]$ 균등 분포에서 뽑음. $y$ 도 똑같은 방식으로 독립적으로 만들어요. $|x - y| > \tfrac{1}{2}$ 일 확률은?

주어진 것: 첫 동전 앞면 ($\tfrac{1}{2}$): 두 번째 동전이 $x \in \{0, 1\}$ 결정, 각 $\tfrac{1}{2}$; 첫 동전 뒷면 ($\tfrac{1}{2}$): $x$ 는 $[0, 1]$ 균등; $y$ 도 같은 규칙으로 독립 생성; 목표 사건: $|x - y| > \tfrac{1}{2}$; 선택지: (A) $\tfrac{1}{3}$, (B) $\tfrac{7}{16}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{9}{16}$, (E) $\tfrac{2}{3}$

구하는 것: $P(|x - y| > \tfrac{1}{2})$

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #1 그림 그리기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기): ($x$ 의 분기) $\times$ ($y$ 의 분기) 로 네 가지 경우 — 독립이라 각 확률 $\tfrac{1}{4}$. 도구 #2(빠짐없이 나열): 네 경우 (이산-이산, 이산-균등, 균등-이산, 균등-균등) 모두 나열. 도구 #1(그림): 균등-균등 경우에는 단위정사각형 위에 $|x-y| > \tfrac{1}{2}$ 영역(두 모서리 직각삼각형) 칠하기. 도구 #9(더 쉬운 문제): 각 경우가 작은 문제로 깔끔히 정리, 합치는 건 가중합.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 1

$x$ 와 $y$ 각각의 생성 분기로 표본 공간을 나눠요.
분기 D(이산) 확률 $\tfrac{1}{2}$, 분기 U(균등) 확률 $\tfrac{1}{2}$.
네 결합 경우 — DD, DU, UD, UU — 가 독립, 각 확률 $\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}$.

$$P(\text{DD}) = P(\text{DU}) = P(\text{UD}) = P(\text{UU}) = \dfrac{1}{4}$$

💡 독립이라 두 분기 확률을 곱하면 됨.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

경우 DD ($x, y \in \{0, 1\}$ 균등).
$|x-y| > \tfrac{1}{2}$ 는 $x \ne y$ 필요, 즉 $(x, y) \in \{(0, 1), (1, 0)\}$.
$P(|x-y| > \tfrac{1}{2} \mid \text{DD}) = \tfrac{2}{4} = \tfrac{1}{2}$.

$$P(\cdot \mid \text{DD}) = \dfrac{1}{2}$$

💡 네 결과 중 두 개가 조건 충족.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.7 단계 3

경우 DU ($x \in \{0, 1\}$, $y$ 균등).
$x = 0$ 이면 $y > \tfrac{1}{2}$ 필요 (길이 $\tfrac{1}{2}$).
$x = 1$ 이면 $1 - y > \tfrac{1}{2}$, 즉 $y < \tfrac{1}{2}$ (역시 길이 $\tfrac{1}{2}$).
어느 쪽이든 조건부 확률 $\tfrac{1}{2}$.
평균: $P(\cdot \mid \text{DU}) = \tfrac{1}{2}$.

$$P(\cdot \mid \text{DU}) = \dfrac{1}{2}$$

💡 $x$ 가 어느 끝점이든 단위구간의 절반이 $\tfrac{1}{2}$ 초과 떨어져 있음.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.7 단계 4

경우 UD 는 대칭 ($x, y$ 교환): $P(\cdot \mid \text{UD}) = \tfrac{1}{2}$.

$$P(\cdot \mid \text{UD}) = \dfrac{1}{2}$$

💡 DU 와 $x, y$ 만 바뀐 같은 구조 — 답이 같음.

#1 그림 그리기 7.G.B.6 단계 5

경우 UU ($x, y$ 모두 균등).
단위정사각형 위에 $|x - y| > \tfrac{1}{2}$, 즉 $y > x + \tfrac{1}{2}$ 또는 $y < x - \tfrac{1}{2}$ 영역 칠하기.
반대편 모서리 직각삼각형 두 개, 각각 두 다리 $\tfrac{1}{2}$, 넓이 $\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{8}$.
총 칠한 넓이 $= 2 \cdot \tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{4}$, 단위정사각형 넓이 $1$, 따라서 $P(\cdot \mid \text{UU}) = \tfrac{1}{4}$.

$$P(\cdot \mid \text{UU}) = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$$

💡 기하 확률: 유리 넓이 / 전체 넓이.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 6

전확률 법칙으로 결합 — 각 경우 가중치 $\tfrac{1}{4}$: $P = \tfrac{1}{4}(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4}) = \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{7}{4} = \tfrac{7}{16}$.
정답 (B).

$$P = \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{7}{16}$$

💡 네 경우 확률의 평균.

[1] #7 7.SP.C.8 $x$ 와 $y$ 각각의 생성 분기로 표본 공간을 나눠요. 분기 D(이산) 확률 $\tfrac{1}{2}$, 분기 U(균등) 확률 $\tfrac

[2] #2 7.SP.C.8 경우 DD ($x, y \in \{0, 1\}$ 균등). $|x-y| > \tfrac{1}{2}$ 는 $x \ne y$ 필요, 즉 $(x, y)

[3] #7 7.SP.C.7 경우 DU ($x \in \{0, 1\}$, $y$ 균등). $x = 0$ 이면 $y > \tfrac{1}{2}$ 필요 (길이 $\tfrac{1

[4] #9 7.SP.C.7 경우 UD 는 대칭 ($x, y$ 교환): $P(\cdot \mid \text{UD}) = \tfrac{1}{2}$.

[5] #1 7.G.B.6 경우 UU ($x, y$ 모두 균등). 단위정사각형 위에 $|x - y| > \tfrac{1}{2}$, 즉 $y > x + \tfrac{1}{2

[6] #7 5.NF.A.1 전확률 법칙으로 결합 — 각 경우 가중치 $\tfrac{1}{4}$: $P = \tfrac{1}{4}(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1

검토

합리성 확인: $\tfrac{7}{16} \approx 0.44$ 로 $\tfrac{1}{2}$ 보다 작음. 직관: $x, y$ 둘 다 균등이면 $\tfrac{1}{4}$ 만 나오지만, 이산 분기가 $x$ 나 $y$ 를 $0$ 이나 $1$ 끝점으로 끌어와 다른 값과 $\tfrac{1}{2}$ 초과 벌어지기 쉽게 만들어 확률을 끌어올림. $\tfrac{1}{4}$ 와 $\tfrac{1}{2}$ 사이가 정확히 예상 범위. 분수 검산: $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{2+2+2+1}{4} = \tfrac{7}{4}$, $\tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{7}{4} = \tfrac{7}{16}$. 선택지 (D) $\tfrac{9}{16}$ 은 여사건 $P(|x-y| \le \tfrac{1}{2})$ 함정.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기/여사건): $|x-y| > \tfrac{1}{2}$ 대신 각 경우의 $P(|x-y| \le \tfrac{1}{2})$ 를 구한 뒤 $1$ 에서 뺌. UU 직접: 띠 영역 $|x-y| \le \tfrac{1}{2}$ 의 넓이 $\tfrac{3}{4}$ (1 에서 두 모서리 삼각형 빼기). 같은 답, 여사건이 더 단순할 때 유용.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 ($\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4}$ 를 공통분모로 더해 $\tfrac{7}{4}$, 그리고 $\tfrac{1}{4}$ 곱하기.)
7.SP.C.7 확률 모델을 만들고 사건의 확률 구하기 (각 분기(이산 vs 균등)의 확률 모델을 세우고 목표 사건의 조건부 확률 계산.)
7.SP.C.8 조직된 목록·표·시뮬레이션으로 복합사건 확률 구하기 (결합 실험을 네 개의 동등 확률 독립 경우(DD, DU, UD, UU) 로 분해하고 전확률 법칙으로 결합.)
7.G.B.6 넓이·표면적·부피 관련 실세계 문제 풀기 (단위정사각형 안 두 모서리 직각삼각형 영역의 넓이 $\tfrac{1}{4}$ 계산 — UU 경우의 기하 확률.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 7학년 확률 모델과 단위정사각형 기하 확률만 있으면 풀려요 — 네 경우 (이산-이산, 이산-균등, 균등-이산, 균등-균등) 로 나눠 조건부 확률 $\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}$ 를 얻은 뒤 평균: $\tfrac{1}{4}(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}) = \tfrac{7}{16}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

비슷한 유형 더 풀어보기