AMC 10 · 2019 · #23

학년 6 counting

triangular-numberssequences-arithmeticpattern-recognitionsystematic-enumeration pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: triangular-numberssequences-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Travis has to babysit the terrible Thompson triplets. Knowing that they love big numbers, Travis devises a counting game for them. First Tadd will say the number $1$ , then Todd must say the next two numbers ( $2$ and $3$ ), then Tucker must say the next three numbers ( $4$ , $5$ , $6$ ), then Tadd must say the next four numbers ( $7$ , $8$ , $9$ , $10$ ), and the process continues to rotate through the three children in order, each saying one more number than the previous child did, until the number $10,000$ is reached. What is the $2019$ th number said by Tadd?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

5743

(B)

5885

(C)

5979

(D)

6001

(E)

6011

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 아이 Tadd, Todd, Tucker 가 순서대로 세요. 차례 $k$ 에는 $k$ 개 연속 정수 — Tadd: $1$, Todd: $2, 3$, Tucker: $4, 5, 6$, Tadd: $7, 8, 9, 10$, … 이렇게 계속. Tadd 가 말하는 $2019$ 번째 수는?

주어진 것: 차례 $1$: Tadd, 차례 $2$: Todd, 차례 $3$: Tucker, 차례 $4$: Tadd, … 반복; 차례 $k$ 는 $k$ 개의 연속 정수 포함; Tadd 의 차례는 $1, 4, 7, 10, \ldots$ — $m$ 라운드에서 차례 번호 $3m - 2$; $10{,}000$ 에서 멈춤. Tadd 의 $2019$ 번째 수를 구함; 선택지: (A) $5743$, (B) $5885$, (C) $5979$, (D) $6001$, (E) $6011$

구하는 것: Tadd 가 말하는 $2019$ 번째 정수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #6 추측하고 확인하기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기): (가) Tadd 의 $2019$ 번째 수가 속한 라운드 찾기, (나) 그 라운드가 전체 몇 번째 차례인지, (다) 차례 안 위치를 전체 정수로 환산. 도구 #5(패턴): Tadd 의 $m$ 라운드 차례 길이 $3m - 2$ (등차), 누적 $\tfrac{m(3m-1)}{2}$. 도구 #9(더 쉬운 문제): 작은 라운드 ($m=1, 2, 3$) 로 패턴과 위치 규칙 확인. 도구 #6(추측·확인): $m = 36, 37, 38$ 시험해 누적이 $2019$ 를 넘는 최소 $m$ 찾기.

실행 — 정답: C

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

Tadd 의 라운드별 개수 찾기.
라운드 $1$: $1$ 개 ($\{1\}$).
라운드 $2$: $4$ 개 ($\{7,8,9,10\}$).
라운드 $3$: $7$ 개.
라운드 $m$ 개수 = $3m - 2$ — 첫항 $1$, 공차 $3$ 의 등차.

$$\text{라운드 } m \text{ 개수} = 3m - 2$$

💡 라운드마다 $3$ 개씩 더 많이 받음.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 2

라운드 $n$ 까지 누적 — 등차수열 합: $\sum_{m=1}^{n} (3m - 2) = 3 \cdot \tfrac{n(n+1)}{2} - 2n = \tfrac{n(3n - 1)}{2}$.

$$T(n) = \dfrac{n(3n - 1)}{2}$$

💡 등차수열 합 공식.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.A.2 단계 3

$T(n) \ge 2019$ 인 최소 $n$ 찾기.
$n = 36$: $T(36) = \tfrac{36 \cdot 107}{2} = 1926$.
$n = 37$: $T(37) = \tfrac{37 \cdot 110}{2} = 2035$.
$T(36) = 1926 < 2019 \le 2035 = T(37)$ — Tadd 의 $2019$ 번째는 라운드 $37$ 안.

$$T(36) = 1926, \quad T(37) = 2035$$

💡 후보 라운드 시험해 $2019$ 통과 지점 찾기.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 4

라운드 $37$ 안 위치: $2019$ 번째는 라운드 $37$ 차례의 $(2019 - 1926) = 93$ 번째.

$$2019 - 1926 = 93$$

💡 이전 라운드 누적을 빼 차례 안 인덱스 구함.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 5

전체 차례 번호.
Tadd 의 $m$ 라운드 차례 = 전체 차례 $3m - 2$ (라운드 $1$: 차례 $1$; 라운드 $2$: 차례 $4$; 라운드 $3$: 차례 $7$).
$m = 37$: 전체 차례 $3 \cdot 37 - 2 = 109$.

$$\text{차례} = 3 \cdot 37 - 2 = 109$$

💡 Tadd 는 매 $3$ 차례마다 한 번씩.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.EE.A.2 단계 6

차례 $109$ 가 시작하는 정수.
차례 $108$ 끝나면 마지막 발화 수 = $1 + 2 + \cdots + 108 = \tfrac{108 \cdot 109}{2} = 5886$.
따라서 차례 $109$ 는 $5887$ 부터.

$$\dfrac{108 \cdot 109}{2} = 5886 \;\Rightarrow\; \text{차례 109 시작 } 5887$$

💡 삼각수 공식으로 누적 정수 합산.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 7

차례 $109$ 의 $93$ 번째 정수 = $5887 + (93 - 1) = 5979$.
Tadd 의 $2019$ 번째 수 $5979$.
정답 (C).

$$5887 + 92 = 5979$$

💡 $5887$ 부터 $92$ 칸 전진해 $93$ 번째.

[1] #5 4.OA.C.5 Tadd 의 라운드별 개수 찾기. 라운드 $1$: $1$ 개 ($\{1\}$). 라운드 $2$: $4$ 개 ($\{7,8,9,10\}$). 라운

[2] #7 6.EE.A.2 라운드 $n$ 까지 누적 — 등차수열 합: $\sum_{m=1}^{n} (3m - 2) = 3 \cdot \tfrac{n(n+1)}{2} - 2

[3] #6 6.EE.A.2 $T(n) \ge 2019$ 인 최소 $n$ 찾기. $n = 36$: $T(36) = \tfrac{36 \cdot 107}{2} = 1926$.

[4] #7 4.OA.A.3 라운드 $37$ 안 위치: $2019$ 번째는 라운드 $37$ 차례의 $(2019 - 1926) = 93$ 번째.

[5] #5 4.OA.C.5 전체 차례 번호. Tadd 의 $m$ 라운드 차례 = 전체 차례 $3m - 2$ (라운드 $1$: 차례 $1$; 라운드 $2$: 차례 $4$;

[6] #9 6.EE.A.2 차례 $109$ 가 시작하는 정수. 차례 $108$ 끝나면 마지막 발화 수 = $1 + 2 + \cdots + 108 = \tfrac{108 \

[7] #7 4.NBT.B.4 차례 $109$ 의 $93$ 번째 정수 = $5887 + (93 - 1) = 5979$. Tadd 의 $2019$ 번째 수 $5979$. 정답

검토

합리성 확인: 누적 점검. $T(37) - T(36) = 2035 - 1926 = 109$, Tadd 의 라운드 $37$ 개수 $= 3 \cdot 37 - 2 = 109$ 와 일치. ✓ 차례 $109$ 길이는 $109$ 개 (차례 $k$ 는 $k$ 개), 따라서 차례 $109$ 안 위치 $1$ – $109$ 가 전체 정수 $5887$ – $5995$. 위치 $93$ 은 $5979$ 로 그 범위 안. $10{,}000$ 한도 아래임도 확인. 끝자리 검증: $5887 + 92 = 5979$, 끝자리 $9$ — 선택지 중 (C) $5979$ 만 $9$ 로 끝남.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 부등식 $\tfrac{n(3n-1)}{2} \ge 2019$ 세워 $3n^2 - n - 4038 \ge 0$ 풀기. 근의 공식: $n \ge \tfrac{1 + \sqrt{1 + 48456}}{6} \approx 36.85$, $n = 37$. 이후는 동일. AMC 시간 측면에선 #6 추측·확인이 더 빠름.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.A.3 네 가지 연산을 사용하는 여러 단계 문제 풀기 ($2019 - 1926 = 93$ 으로 라운드 $37$ 안 위치 도출.)
4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수·도형 패턴 만들기 (Tadd 의 라운드 $m$ 차례 길이 $3m - 2$ 와 전체 차례 번호 $3m - 2$ 패턴 인식.)
4.NBT.B.4 여러 자리 정수의 능숙한 덧셈·뺄셈 ($5887 + 92 = 5979$ 로 목표 정수 도착.)
6.EE.A.2 문자로 수를 표현하는 식을 쓰고 읽고 계산하기 ($T(n) = \tfrac{n(3n-1)}{2}$ 와 삼각수 공식 $\tfrac{k(k+1)}{2}$ 를 특정 $n, k$ 에서 평가.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 6학년 식 만들기와 여러 자리 셈만 있으면 풀려요 — Tadd 의 라운드 $m$ 개수 $3m-2$ 의 누적 $\tfrac{m(3m-1)}{2}$; 라운드 $37$ 에서 위치 $93$ 도달; 차례 $109$ 시작 $5887$; 답 $= 5887 + 92 = 5979$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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