AMC 10 · 2019 · #4

학년 3 arithmetic

extremal-constructionmulti-digit-arithmeticsystematic-enumeration identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

A box contains $28$ red balls, $20$ green balls, $19$ yellow balls, $13$ blue balls, $11$ white balls, and $9$ black balls. What is the minimum number of balls that must be drawn from the box without replacement to guarantee that at least $15$ balls of a single color will be drawn?

$\textbf{(A) } 75 \qquad\textbf{(B) } 76 \qquad\textbf{(C) } 79 \qquad\textbf{(D) } 84 \qquad\textbf{(E) } 91$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 상자에 빨강 $28$, 초록 $20$, 노랑 $19$, 파랑 $13$, 흰색 $11$, 검정 $9$ 개의 공이 들어 있습니다. 다시 넣지 않고 보지 않고 공을 뽑을 때, 한 색깔의 공이 적어도 $15$ 개 뽑힌 것을 보장하려면 최소 몇 개를 뽑아야 할까요?

주어진 것: 색깔별 개수: 빨강 $28$, 초록 $20$, 노랑 $19$, 파랑 $13$, 흰색 $11$, 검정 $9$; 총 공의 개수: $28 + 20 + 19 + 13 + 11 + 9 = 100$; 다시 넣지 않고 뽑음; 목표: 한 색깔 공이 적어도 $15$ 개임을 보장; 선택지: (A) $75$, (B) $76$, (C) $79$, (D) $84$, (E) $91$

구하는 것: 한 색깔이 $15$ 개에 도달하도록 강제하는 최소 뽑기 수

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

도구 #16(관점 바꾸기): '$15$ 개를 보장하려면 몇 번?' 대신 거꾸로 '어느 색도 $15$ 가 안 되게 최대한 뽑을 수 있는 수는?' 를 묻습니다. 그 최악의 수에 하나만 더 뽑으면 다음 공은 반드시 한 색을 $15$ 로 밀어 올립니다. 도구 #2(나열): 각 색깔별로 '$15$ 미만' 한도까지 뽑는 양을 적어 봅니다 — 큰 세 색은 $14$ 개씩, 작은 세 색은 전부. 도구 #3(가능성 지우기): 선택지 $75, 76, 79, 84, 91$ 의 차이는 작아서 최악 합 $75$ 만 구하면 답은 $75 + 1 = 76$, 즉 (B) 가 곧장 골라집니다.

실행 — 정답: B

#16 관점 바꾸기 3.OA.A.3 단계 1

$15$ 에 도달할 수 있는 색깔을 가립니다.
빨강 ($28$), 초록 ($20$), 노랑 ($19$) 만이 $15$ 개 이상 — 이 셋만 $15$ 에 닿을 수 있어요.
파랑 ($13$), 흰색 ($11$), 검정 ($9$) 은 전부 뽑아도 $15$ 에 못 미치므로 '승리 색깔'이 될 수 없습니다.

$15$ 도달 가능: 빨강, 초록, 노랑. 불가능: 파랑, 흰색, 검정.

💡 $\ge 15$ 개를 가진 색깔만 '경계선'을 넘을 수 있어요.

#2 빠짐없이 나열하기 1.OA.A.2 단계 2

최악의 '$15$ 회피' 뽑기를 짭니다.
$15$ 에 닿을 수 있는 색깔(빨강·초록·노랑)은 $15$ 미만의 최대치인 $14$ 개씩.
도달 불가능한 색깔(파랑·흰색·검정)은 전부 뽑아도 승리에 기여하지 않으니 모두 뽑습니다.

최악 = $\underbrace{14 + 14 + 14}_{\text{빨강, 초록, 노랑}} + \underbrace{13 + 11 + 9}_{\text{파랑, 흰색, 검정}}$

💡 어느 색도 $15$ 가 안 되게, 최대한 많이 뽑기.

#2 빠짐없이 나열하기 2.NBT.B.5 단계 3

최악 합을 계산.
큰 세 색: $14 + 14 + 14 = 42$.
작은 세 색: $13 + 11 + 9 = 33$.
총 $42 + 33 = 75$ 개를 뽑아도 어느 색도 $15$ 에 도달하지 않습니다.

$$14 + 14 + 14 + 13 + 11 + 9 = 42 + 33 = 75$$

💡 $75$ 가 '운 나쁜' 뽑기의 최대 — 그래도 승리 색은 없어요.

#16 관점 바꾸기 1.OA.A.1 단계 4

$75$ 번 후에는 상자에 빨강·초록·노랑만 남고 (파랑·흰색·검정은 다 빠짐), 그래서 $76$ 번째 공은 반드시 빨강·초록·노랑 중 하나 — 그 색은 $14$ 에서 $15$ 로 밀려 올라갑니다.
따라서 $76$ 번이면 한 색깔 $15$ 개를 보장합니다.

$$75 + 1 = 76 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 최악 뒤에 한 번만 더 뽑으면 성공이 강제됩니다.

#3 가능성 지우기 1.NBT.B.3 단계 5

다른 선택지 제거.
$75$ 는 실패가 가능한 한도이므로 (A) 는 보장 X.
$79$, $84$, $91$ 은 보장은 되지만 필요 이상으로 큼 — '최소'를 묻는 문제이니 과잉.
정확히 최소이면서 충분한 건 (B) $76$ 뿐.

$75$ 실패 $\Rightarrow$ (A) 아님;\quad $79, 84, 91 > 76$ $\Rightarrow$ 최소 아님, (C), (D), (E) 아님

💡 $76$ 만이 '항상 통하면서 가장 작은' 수.

[1] #16 3.OA.A.3 $15$ 에 도달할 수 있는 색깔을 가립니다. 빨강 ($28$), 초록 ($20$), 노랑 ($19$) 만이 $15$ 개 이상 — 이 셋만 $1

[2] #2 1.OA.A.2 최악의 '$15$ 회피' 뽑기를 짭니다. $15$ 에 닿을 수 있는 색깔(빨강·초록·노랑)은 $15$ 미만의 최대치인 $14$ 개씩. 도달 불가

[3] #2 2.NBT.B.5 최악 합을 계산. 큰 세 색: $14 + 14 + 14 = 42$. 작은 세 색: $13 + 11 + 9 = 33$. 총 $42 + 33 = 7

[4] #16 1.OA.A.1 $75$ 번 후에는 상자에 빨강·초록·노랑만 남고 (파랑·흰색·검정은 다 빠짐), 그래서 $76$ 번째 공은 반드시 빨강·초록·노랑 중 하나 —

[5] #3 1.NBT.B.3 다른 선택지 제거. $75$ 는 실패가 가능한 한도이므로 (A) 는 보장 X. $79$, $84$, $91$ 은 보장은 되지만 필요 이상으로 큼

검토

합리성 확인: 최악 합을 확인. $14 + 14 + 14 = 42$, $13 + 11 + 9 = 33$, 총 $42 + 33 = 75$ — 어느 색도 $15$ 가 아님. $76$ 번째에는 상자에 빨강·초록·노랑만 남아 그중 하나가 $14 \to 15$ 로 올라갑니다. 따라서 $76$ 은 달성 가능(전략이 존재)이고 또한 정확한 최소(한 번도 뺄 수 없음).

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인) 으로 선택지 직접 점검. (A) $75$: 빨강 $14$, 초록 $14$, 노랑 $14$, 그리고 파랑·흰색·검정 모두 $13 + 11 + 9 = 33$ — 합 $75$ 인데 어느 색도 $15$ 가 아님, 실패. (B) $76$: 작은 색 $33$ 개가 동나 큰 세 색의 $14$ 상한이 동시에 유지 불가 — 하나가 $15$ 로 깨짐, 성공.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

1.OA.A.1 20 이내 덧셈·뺄셈 문장제 풀기 (최악 합에 하나 더하기 ($75 + 1 = 76$).)
1.OA.A.2 세 수의 합이 20 이내인 문장제 풀기 ($15$ 미만의 최대치 ($14$) 를 각 큰 색에 선택.)
1.NBT.B.3 두 자리 수를 부호로 비교 ($79, 84, 91 > 76$ 으로 과잉 선택지 제거.)
2.NBT.B.5 100 이내 덧셈·뺄셈 능숙하게 (최악 합 $14 + 14 + 14 + 13 + 11 + 9 = 75$ 계산.)
3.OA.A.3 100 이내 곱셈·나눗셈 문장제 풀기 (보유량 상한을 따져 $15$ 도달 가능 색깔을 가리기.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 3학년 "문장제로 따져 보기" 만 알면 풀 수 있어요 — 어느 색도 $15$ 가 안 되게 최대한 뽑은 수 ($14 + 14 + 14 + 13 + 11 + 9 = 75$) 에 하나만 더하면 답은 $76$ 이에요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

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