AMC 10 · 2019 · #5

학년 6 arithmetic

sequences-arithmeticsymmetry-argumentpattern-recognitionmean-median-mode-range pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

What is the greatest number of consecutive integers whose sum is $45?$

$\textbf{(A) } 9 \qquad\textbf{(B) } 25 \qquad\textbf{(C) } 45 \qquad\textbf{(D) } 90 \qquad\textbf{(E) } 120$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

120

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 합이 정확히 $45$ 가 되는 연속한 정수의 개수 중 최댓값을 구하세요. 정수는 양수·음수·$0$ 모두 허용됩니다.

주어진 것: 선택한 연속한 정수들의 합이 $45$; 정수들은 사이가 비지 않는 연속한 묶음; 음수와 $0$ 허용 (문제는 '정수'라고 했지 '양의 정수'가 아님); 선택지: (A) $9$, (B) $25$, (C) $45$, (D) $90$, (E) $120$

구하는 것: 그런 연속 정수 묶음에서 정수 개수의 최댓값

이해

문제 재정리: 합이 정확히 $45$ 가 되는 연속한 정수의 개수 중 최댓값을 구하세요. 정수는 양수·음수·$0$ 모두 허용됩니다.

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #1 그림 그리기, #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

도구 #9(더 쉬운 문제): 더 작은 목표 합 $5$ 부터 시도. 음수를 끼워 대부분 항을 상쇄하는 요령이 보입니다 — $-4, -3, \ldots, 4, 5$ 의 합이 $5$, 항 수는 $10$. 도구 #1(그림): 수직선 위에 $-k$ 부터 $+k$ 까지의 대칭 묶음은 합이 $0$, 거기에 꼬리 $\{k+1, \ldots, 45\}$ 가 $45$ 를 책임지는 그림. 도구 #5(패턴 찾기): 작은 경우의 패턴을 일반화 — 합 $S$ 이면 $-(S - 1)$ 부터 $S$ 까지, $2S$ 개. $S = 45$ 면 $90$. 도구 #3(가능성 지우기): 선택지는 $9, 25, 45, 90, 120$. $45$ 이하는 음수를 쓰지 않은 것, $120$ 은 상한 $90$ 을 넘어 불가능.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.NS.C.6 단계 1

더 작은 합으로 워밍업.
합이 $5$ 가 되는 연속 정수는 몇 개까지?
$-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$ 를 쓰면 $(-4, 4), (-3, 3), (-2, 2), (-1, 1)$ 쌍이 상쇄, $0$ 은 더해도 그대로, $5$ 만 남아 합 $= 5$.
항 수는 $10$ — 단순한 $\{5\}$ 나 $\{2, 3\}$ 보다 훨씬 많습니다.

$(-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 5$, 항 수 $10$

💡 음수가 양수와 짝지어 상쇄 — 살아남는 건 맨 위 수뿐.

#5 패턴 찾기 6.NS.C.6 단계 2

패턴 일반화.
목표 합 $S > 0$ 에 대해 $-(S - 1)$ 부터 $S$ 까지 정수를 모으면 $k = 1, 2, \ldots, S - 1$ 의 짝 $(-k, k)$ 들이 상쇄되고 가운데 $0$ 도 기여하지 않아 합은 $S$.
항 수는 $S - (-(S-1)) + 1 = 2S$.

정수 $-(S-1), -(S-2), \ldots, -1, 0, 1, \ldots, S - 1, S$ — 항 수 $= 2S$, 합 $= S$

💡 워밍업과 같은 패턴 — 합은 그대로, 길이는 두 배.

#5 패턴 찾기 6.NS.C.6 단계 3

$S = 45$ 에 적용.
$-44$ 부터 $45$ 까지 — $-44, -43, \ldots, -1, 0, 1, \ldots, 44, 45$.
$k = 1, \ldots, 44$ 의 짝 $(-k, k)$ 가 모두 상쇄, $0$ 은 기여 없음, $45$ 만 남음.
항 수는 $45 - (-44) + 1 = 90$.

수열 $-44, -43, \ldots, 44, 45$;\ 항 수 $= 45 - (-44) + 1 = 90$;\ 합 $= 45 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$

💡 워밍업과 같은 패턴, 크기만 커짐: $-(S-1)$ 부터 $S$ 까지면 $2S$ 항.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.EE.B.7 단계 4

이게 최댓값인지 확인.
시작점 $a$ 에서 $n$ 개의 연속 정수 합은 $n \cdot a + \frac{n(n-1)}{2}$.
이를 $45$ 로 두고 양변 두 배: $2na + n(n-1) = 90$, 즉 $n \big( 2a + (n - 1) \big) = 90$.
따라서 $n$ 은 $90$ 의 약수여야 함.
선택지 안에서 가장 큰 $90$ 의 약수는 $90$ 자신 — 그리고 실제로 만들어 봤으니 $n = 90$ 이 최적.

$n \big( 2a + n - 1 \big) = 90 \;\Rightarrow\; n \mid 90;$ 선택지 중 가장 큰 약수는 $90$ \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}

💡 길이는 반드시 $90$ 의 약수 — 그리고 $90$ 자신도 가능.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 5

작은 선택지 제거.
(A) $9$, (B) $25$, (C) $45$ 도 일부 합 $= 45$ 묶음을 만들 수 있지만 ($25$ 는 $90$ 의 약수가 아니라 불가능) 어쨌든 최댓값은 아니에요.
(E) $120$ 은 $120 \nmid 90$ 이라 불가능.
결국 (D) $90$ 이 정답.

$$9, 25, 45, 90 \mid 90 \text{?}\ 9\,\checkmark,\ 25\,\times,\ 45\,\checkmark,\ 90\,\checkmark;\ 120\,\times \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 선택지 중 $90$ 의 약수만 가능 — 가장 큰 건 $90$.

[1] #9 6.NS.C.6 더 작은 합으로 워밍업. 합이 $5$ 가 되는 연속 정수는 몇 개까지? $-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$ 를 쓰면

[2] #5 6.NS.C.6 패턴 일반화. 목표 합 $S > 0$ 에 대해 $-(S - 1)$ 부터 $S$ 까지 정수를 모으면 $k = 1, 2, \ldots, S - 1$

[3] #5 6.NS.C.6 $S = 45$ 에 적용. $-44$ 부터 $45$ 까지 — $-44, -43, \ldots, -1, 0, 1, \ldots, 44, 45$.

[4] #9 6.EE.B.7 이게 최댓값인지 확인. 시작점 $a$ 에서 $n$ 개의 연속 정수 합은 $n \cdot a + \frac{n(n-1)}{2}$. 이를 $45$

[5] #3 4.OA.B.4 작은 선택지 제거. (A) $9$, (B) $25$, (C) $45$ 도 일부 합 $= 45$ 묶음을 만들 수 있지만 ($25$ 는 $90$ 의

검토

합리성 확인: 직접 확인. 묶음 $-44, -43, \ldots, 44, 45$ 는 $90$ 개. 음수마다 양수와 짝짓기: $(-44) + 44 = 0$, $(-43) + 43 = 0$, $\ldots$, $(-1) + 1 = 0$ — $44$ 번 상쇄, $0$ 과 $45$ 만 남음. 합 $= 0 + 45 = 45\ \checkmark$. $90$ 개의 연속 정수로 합 $45$ 가 실제로 가능 — (D) 달성 확정.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기): 수직선 위에 $-44$ 부터 $45$ 까지의 묶음을 표시. $0$ 을 중심으로 한 대칭 구간 $[-44, 44]$ 는 거울 대칭으로 눈에 보이게 상쇄, 오른쪽 끝점 $45$ 만 합에 기여 — 왜 통하는지와 항 수 $90$ 이 동시에 시각적으로 설명됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.B.4 모든 인수쌍과 배수를 찾고 소수·합성수 판별 (선택지 중 어느 것이 $90$ 의 약수인지 (가능한 묶음 길이인지) 확인.)
6.NS.C.6 유리수를 수직선 위의 한 점으로 이해 ($0$ 을 중심으로 양수와 음수를 대칭으로 사용해 짝마다 상쇄하기.)
6.EE.B.7 $px = q$ 형태의 방정식을 만들고 풀기 ($n(2a + n - 1) = 90$ 으로 $n$ 이 $90$ 의 약수임을 증명, 최댓값이 $90$ 임을 확정.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "수직선 위의 음수" 만 알면 풀 수 있어요 — $-44$ 부터 $45$ 까지 모으면 $(-k, k)$ 짝이 모두 상쇄되고 $45$ 만 남아서 항 수는 $90$ 이에요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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