AMC 10 · 2019 · #7

학년 6 geometry-2d

coordinate-geometryslope-interceptlinear-equations-two-vararea-trianglesisosceles-triangle coordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryslope-interceptarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Two lines with slopes $\dfrac{1}{2}$ and $2$ intersect at $(2,2)$ . What is the area of the triangle enclosed by these two lines and the line $x+y=10  ?$

$\textbf{(A) } 4 \qquad\textbf{(B) } 4\sqrt{2} \qquad\textbf{(C) } 6 \qquad\textbf{(D) } 8 \qquad\textbf{(E) } 6\sqrt{2}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$4\sqrt{2}$

(C)

(D)

(E)

$6\sqrt{2}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 직선이 점 $(2, 2)$ 를 지나는데, 하나는 기울기 $\dfrac{1}{2}$, 다른 하나는 기울기 $2$. 세 번째 직선은 $x + y = 10$. 이 세 직선이 만드는 삼각형의 넓이를 구하시오.

주어진 것: 직선 1: 기울기 $\dfrac{1}{2}$, 점 $(2, 2)$ 지나감; 직선 2: 기울기 $2$, 점 $(2, 2)$ 지나감; 직선 3: $x + y = 10$; 선택지: (A) $4$, (B) $4\sqrt{2}$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $6\sqrt{2}$

구하는 것: 세 직선이 둘러싸는 삼각형의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도구 #1 로 좌표 격자에 세 직선과 삼각형을 그리면 세 꼭짓점이 한눈에 보임. 도구 #7 로 작업을 세 단계로 쪼갬: (a) $(2,2)$ 지나는 두 직선의 식 쓰기, (b) 각 직선과 $x + y = 10$ 의 교점 찾기, (c) 세 꼭짓점으로부터 넓이 계산. 도구 #3 으로 답이 선택지와 일치하는지 확인.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 5.G.A.1 단계 1

점-기울기 형태로 직선 1, 2 의 식을 구함.
둘 다 $(2, 2)$ 지나므로 $y - 2 = \text{기울기} \cdot (x - 2)$.

$$\text{직선 1: } y = \tfrac{1}{2}x + 1, \quad \text{직선 2: } y = 2x - 2$$

💡 아는 점과 기울기를 $y = mx + b$ 에 대입해 식 얻음.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.G.A.1 단계 2

직선 1 과 $x + y = 10$ 의 교점.
$y = \tfrac{1}{2}x + 1$ 을 대입하면 $x + \tfrac{1}{2}x + 1 = 10$, 즉 $\tfrac{3}{2}x = 9$, $x = 6$, $y = 4$.
꼭짓점 $B = (6, 4)$.

$$x + \tfrac{1}{2}x + 1 = 10 \Rightarrow \tfrac{3}{2}x = 9 \Rightarrow x = 6,\; y = 4$$

💡 한 직선의 $y$ 를 다른 식에 대입해 교점 좌표 얻음.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.G.A.1 단계 3

직선 2 와 $x + y = 10$ 의 교점.
$y = 2x - 2$ 대입: $x + 2x - 2 = 10$, $3x = 12$, $x = 4$, $y = 6$.
꼭짓점 $C = (4, 6)$.

$$x + 2x - 2 = 10 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4,\; y = 6$$

💡 더 가파른 직선도 같은 대입법으로 교점 찾기.

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 4

세 꼭짓점을 좌표 평면에 표시: $A = (2, 2)$, $B = (6, 4)$, $C = (4, 6)$.
점을 찍고 잇기.

$$A = (2, 2),\; B = (6, 4),\; C = (4, 6)$$

💡 세 꼭짓점이 정해졌으니 이제 넓이 계산.

#1 그림 그리기 4.MD.A.3 단계 5

삼각형을 둘러싸는 정사각형 $(2, 2), (6, 2), (6, 6), (2, 6)$ 을 그림 (한 변 $4$, 넓이 $16$).
정사각형의 네 모서리 중 삼각형 꼭짓점이 아닌 세 모서리에는 각각 직각삼각형이 생김: $(6,2)$ 모서리의 두 변은 $4, 2$ (넓이 $4$); $(6,6)$ 모서리의 두 변은 $2, 2$ (넓이 $2$); $(2,6)$ 모서리의 두 변은 $2, 4$ (넓이 $4$).

$$\text{둘레 정사각형 넓이} = 4 \cdot 4 = 16$$

💡 기울어진 삼각형을 정사각형으로 둘러싸고 세 모서리 직각삼각형을 뺌.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 6

정사각형에서 세 모서리 직각삼각형을 뺌.

$$\text{넓이} = 16 - \tfrac{1}{2}(4 \cdot 2) - \tfrac{1}{2}(2 \cdot 2) - \tfrac{1}{2}(2 \cdot 4) = 16 - 4 - 2 - 4 = 6$$

💡 큰 정사각형에서 뾰족한 세 조각을 빼면 삼각형 넓이가 남음.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 7

넓이 $= 6$ 은 (C).

$$6 \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 일치하는 보기 찾기.

[1] #7 5.G.A.1 점-기울기 형태로 직선 1, 2 의 식을 구함. 둘 다 $(2, 2)$ 지나므로 $y - 2 = \text{기울기} \cdot (x - 2)$.

[2] #7 5.G.A.1 직선 1 과 $x + y = 10$ 의 교점. $y = \tfrac{1}{2}x + 1$ 을 대입하면 $x + \tfrac{1}{2}x + 1

[3] #7 5.G.A.1 직선 2 와 $x + y = 10$ 의 교점. $y = 2x - 2$ 대입: $x + 2x - 2 = 10$, $3x = 12$, $x = 4$

[4] #1 5.G.A.2 세 꼭짓점을 좌표 평면에 표시: $A = (2, 2)$, $B = (6, 4)$, $C = (4, 6)$. 점을 찍고 잇기.

[5] #1 4.MD.A.3 삼각형을 둘러싸는 정사각형 $(2, 2), (6, 2), (6, 6), (2, 6)$ 을 그림 (한 변 $4$, 넓이 $16$). 정사각형의 네

[6] #7 6.G.A.1 정사각형에서 세 모서리 직각삼각형을 뺌.

[7] #3 4.NBT.A.2 넓이 $= 6$ 은 (C).

검토

합리성 확인: 밑변·높이로 검산. 삼각형은 이등변: $AB$ = $(2,2)$~$(6,4)$ 길이 $\sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5}$, $AC$ = $(2,2)$~$(4,6)$ 길이 $2\sqrt{5}$. 밑변 $BC$ = $(6,4)$~$(4,6)$ 길이 $\sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$ 이고 $BC$ 는 $x + y = 10$ 위에 있음. $A = (2,2)$ 에서 $x + y = 10$ 까지의 거리 $= \dfrac{|2 + 2 - 10|}{\sqrt{2}} = \dfrac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$. 넓이 $= \tfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = \tfrac{1}{2} \cdot 12 = 6$. ✓

대안 접근: 도구 #13 (대수): 신발끈 공식을 세 꼭짓점에 직접 적용. 넓이 $= \tfrac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| = \tfrac{1}{2}|2(4 - 6) + 6(6 - 2) + 4(2 - 4)| = \tfrac{1}{2}|-4 + 24 - 8| = 6$. 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.G.A.1 직교하는 두 수직선으로 좌표계 구성 ($(2, 2)$ 지나는 두 직선의 식을 쓰고 교점 좌표 계산.)
5.G.A.2 점을 좌표 평면에 표시해 문제 표현 (세 꼭짓점 $A = (2,2)$, $B = (6,4)$, $C = (4,6)$ 좌표 평면에 그리기.)
4.MD.A.3 실생활 문제에 직사각형의 넓이·둘레 공식 적용 ($4 \times 4$ 둘레 정사각형 넓이 $16$ 계산.)
6.G.A.1 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 구성/분해로 구함 (둘레 정사각형을 목표 삼각형과 세 모서리 직각삼각형으로 분해해 빼서 넓이 $6$ 얻기.)
4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰고 비교하기 (계산된 넓이를 (C) 와 매칭.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "조각으로 넓이 구하기"만 알면 풀 수 있어요 — 삼각형의 세 꼭짓점 $(2,2)$, $(6,4)$, $(4,6)$ 을 찾고, $4 \times 4$ 정사각형 (넓이 $16$) 으로 둘러싼 뒤 세 모서리 직각삼각형 ($4 + 2 + 4 = 10$) 을 빼면 삼각형 넓이는 $16 - 10 = 6$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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