AMC 10 · 2019 · #11

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints

ratio-proportionfraction-arithmeticlinear-equations-one-var ratio-proportionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: ratio-proportionfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Two jars each contain the same number of marbles, and every marble is either blue or green. In Jar $1$ the ratio of blue to green marbles is $9:1$ , and the ratio of blue to green marbles in Jar $2$ is $8:1$ . There are $95$ green marbles in all. How many more blue marbles are in Jar $1$ than in Jar $2$ ?

$\textbf{(A) } 5\qquad\textbf{(B) } 10 \qquad\textbf{(C) }25 \qquad\textbf{(D) } 45 \qquad \textbf{(E) } 50$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 항아리에 들어 있는 구슬 수는 서로 같고 각 구슬은 파란색 또는 초록색이다. 항아리 1의 파랑:초록 비는 $9{:}1$, 항아리 2의 파랑:초록 비는 $8{:}1$. 두 항아리의 초록 구슬은 총 $95$ 개. 항아리 1의 파란 구슬은 항아리 2보다 몇 개 많은가?

주어진 것: 두 항아리의 총 구슬 수가 같음 — 그 값을 $N$ 이라 하자; 항아리 1의 파랑:초록 $= 9{:}1$; 항아리 2의 파랑:초록 $= 8{:}1$; 두 항아리의 초록 구슬 합 $= 95$; 선택지: $5,\, 10,\, 25,\, 45,\, 50$

구하는 것: (항아리 1의 파랑 수) $-$ (항아리 2의 파랑 수)

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도구 #8(단위·비 살피기): $9{:}1$ 은 항아리의 $\tfrac{1}{10}$ 이 초록, $8{:}1$ 은 $\tfrac{1}{9}$ 이 초록. 도구 #7(쪼개기): 먼저 초록 총합에서 $N$ 을 구한 뒤 파랑 수를 따로 계산. 도구 #3 으로 $5$ 가 선택지 $(A)$ 와 일치함을 확인. 대수(#13)도 가능하지만 분수-의-전체 시각이 더 작고 직관적.

실행 — 정답: A

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 1

비를 각 항아리의 초록 분수로 바꾼다.
항아리 1은 $10$ 개당 초록 $1$ 개이므로 초록은 전체의 $\tfrac{1}{10}$.
항아리 2는 $9$ 개당 초록 $1$ 개이므로 초록은 전체의 $\tfrac{1}{9}$.

$$\text{항아리 1 초록 비율} = \tfrac{1}{10}, \;\; \text{항아리 2 초록 비율} = \tfrac{1}{9}$$

💡 6학년 비: $a{:}b$ 분할에서 두 번째 색은 전체의 $\tfrac{b}{a+b}$.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 2

각 항아리의 구슬 수를 $N$ 이라 하면, 초록 총합은 두 항아리의 초록 합과 같다.

$$\tfrac{N}{10} + \tfrac{N}{9} = 95$$

💡 5학년 분수: 같은 전체의 두 부분을 더하면 그 색 총합.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 3

공통분모 $90$ 으로 묶고 $N$ 을 구한다.

$$\tfrac{9N}{90} + \tfrac{10N}{90} = \tfrac{19N}{90} = 95 \;\Rightarrow\; N = \tfrac{95 \cdot 90}{19} = 5 \cdot 90 = 450$$

💡 6학년: 한 단계 방정식 $\tfrac{19}{90} N = 95$ 로 항아리 크기가 단번에 나옴.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.6 단계 4

각 항아리의 파랑 수를 계산.
항아리 1은 $\tfrac{9}{10}$ 이 파랑, 항아리 2는 $\tfrac{8}{9}$ 이 파랑.

$$\text{파랑}_1 = \tfrac{9}{10} \cdot 450 = 405, \;\; \text{파랑}_2 = \tfrac{8}{9} \cdot 450 = 400$$

💡 5학년: 같은 전체에 분수 곱하기를 두 번.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 5

두 파랑 수의 차를 구한다.

$$405 - 400 = 5$$

💡 4학년: 작은 자연수 뺄셈으로 마무리.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 6

$5$ 를 선택지와 매칭.

$$5 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 4학년: 같은 자연수를 선택지에서 고르기.

[1] #8 6.RP.A.3 비를 각 항아리의 초록 분수로 바꾼다. 항아리 1은 $10$ 개당 초록 $1$ 개이므로 초록은 전체의 $\tfrac{1}{10}$. 항아리 2는

[2] #7 5.NF.A.1 각 항아리의 구슬 수를 $N$ 이라 하면, 초록 총합은 두 항아리의 초록 합과 같다.

[3] #7 6.EE.B.7 공통분모 $90$ 으로 묶고 $N$ 을 구한다.

[4] #7 5.NF.B.6 각 항아리의 파랑 수를 계산. 항아리 1은 $\tfrac{9}{10}$ 이 파랑, 항아리 2는 $\tfrac{8}{9}$ 이 파랑.

[5] #7 4.NBT.B.4 두 파랑 수의 차를 구한다.

[6] #3 4.NBT.A.2 $5$ 를 선택지와 매칭.

검토

합리성 확인: 초록 검산: 항아리 1 초록 $= 450/10 = 45$, 항아리 2 초록 $= 450/9 = 50$, 합 $95$ — 조건 일치. 파랑은 $405, 400$ 이고 항아리당 합 $450$ — 두 항아리 크기 동일. 비 $9{:}1$ 과 $8{:}1$ 이 가까운 만큼 파랑 차이 $5$ 도 작아야 자연스럽다.

대안 접근: 도구 #6(추측과 확인): $N$ 은 $10$ 과 $9$ 의 공배수 — $N \in \{90, 180, 270, 360, 450, \dots\}$. 초록 합을 차례로 확인하면 $N=90$ 일 때 $9+10=19$, $N=450$ 일 때 $45+50=95$ — 적중. 방정식 없이 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.A.2 여러 자리 자연수의 읽기·쓰기·비교 (답 $5$ 를 선택지 값과 매칭.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈을 능숙하게 수행 ($405 - 400 = 5$ 의 마지막 뺄셈.)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 ($\tfrac{N}{10} + \tfrac{N}{9}$ 을 공통분모 $90$ 으로 합치기.)
5.NF.B.6 분수·대분수의 곱셈을 활용한 실생활 문제 해결 (파랑 수 $\tfrac{9}{10} \cdot 450 = 405$ 와 $\tfrac{8}{9} \cdot 450 = 400$ 계산.)
6.RP.A.3 비·비율 추론으로 실생활·수학 문제 해결 ($9{:}1$ 과 $8{:}1$ 을 항아리의 $\tfrac{1}{10}, \tfrac{1}{9}$ 가 초록임으로 해석.)
6.EE.B.7 $px = q$ 꼴 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제 해결 ($\tfrac{19}{90} N = 95$ 에서 $N = 450$ 도출.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 비율 사고만 알면 풀 수 있어요! $9{:}1$ 항아리는 $\tfrac{1}{10}$ 이, $8{:}1$ 항아리는 $\tfrac{1}{9}$ 이 초록이라서 $\tfrac{N}{10} + \tfrac{N}{9} = 95$ 에서 $N = 450$. 파랑은 각각 $405, 400$ 으로 차이 $\mathbf{5}$, 답 $(A)$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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