AMC 10 · 2019 · #12

학년 6 arithmetic

base-conversionplace-valuedigit-sumbound-inequality-then-enumerate bound-inequality-then-enumerateidentify-subproblems ↑ 선수 지식: base-conversionplace-value

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

What is the greatest possible sum of the digits in the base-seven representation of a positive integer less than $2019$ ?

$\textbf{(A) } 11 \qquad\textbf{(B) } 14 \qquad\textbf{(C) } 22 \qquad\textbf{(D) } 23 \qquad\textbf{(E) } 27$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $2019$ 보다 작은 양의 정수를 $7$ 진법으로 나타냈을 때, 각 자릿수의 합이 가질 수 있는 가장 큰 값은?

주어진 것: $n$ 은 $n < 2019$ 인 양의 정수; $n$ 을 $7$ 진법으로 나타냄 (자릿수는 $0,1,2,3,4,5,6$ 중 하나); $7$ 진 자릿수의 합을 구함; 선택지: $11,\, 14,\, 22,\, 23,\, 27$

구하는 것: $7$ 진 자릿수 합의 최댓값

이해

문제 재정리: $2019$ 보다 작은 양의 정수를 $7$ 진법으로 나타냈을 때, 각 자릿수의 합이 가질 수 있는 가장 큰 값은?

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

도구 #9(쉬운 문제): 먼저 $2018$ (허용되는 최댓값)을 $7$ 진법으로 변환해 자릿수 예산을 파악. 도구 #6(추측·확인): 자릿수 합의 주인공은 모두 $6$ 인 $666_7$ 이므로 그 앞에 천의 자릿수를 $0, 1, 2, \dots$ 로 키워 가며 $2018$ 을 넘기 직전까지 시도. 도구 #3 으로 $22$ 가 선택지 $(C)$ 와 일치함을 확인. 대수는 필요 없고 진법 + 작은 방향 탐색이면 충분.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NBT.A.1 단계 1

$2018$ 을 $7$ 진법으로 바꿔 자릿수 한계를 본다.
$7$ 로 반복해서 나누면 $2018 = 5\cdot343 + 303$, $303 = 6\cdot49 + 9$, $9 = 1\cdot7 + 2$.
따라서 $2018 = 5612_7$.

$$2018 = 5 \cdot 7^3 + 6 \cdot 7^2 + 1 \cdot 7 + 2 = 5612_7$$

💡 5학년 자릿값: $7$ 로 나누는 것을 반복하면 $7$ 진 자릿수가 하나씩 떨어져 나옴.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NBT.A.1 단계 2

$5$ 자리 이상의 $7$ 진수는 $\ge 7^4 = 2401 > 2018$ 이므로 $n$ 은 최대 $4$ 자리.
자릿수 합 이론상의 상한은 $4 \cdot 6 = 24$.
하지만 $6666_7 = 6 \cdot 400 = 2400 > 2018$ 이므로 이 상한은 도달 불가.

$$6666_7 = 6(343+49+7+1) = 6 \cdot 400 = 2400 > 2018$$

💡 5학년: $4$ 자리 $7$ 진수의 최댓값 $6666_7 = 2400$ 은 $2018$ 을 살짝 넘김.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.8 단계 3

아래 세 자리를 $666_7$(자릿수 합 $18$) 으로 고정한 뒤 천의 자릿수 $t$ 를 얼마까지 키울 수 있는지 본다.
수는 $t \cdot 343 + 666_7 = 343t + 342$.

$$t \cdot 343 + 342 < 2019 \;\Rightarrow\; t < \tfrac{2019 - 342}{343} = \tfrac{1677}{343} \approx 4.89$$

💡 6학년 부등식: 후보를 직접 상한 $2018$ 과 비교.

#6 추측하고 확인하기 4.NBT.B.4 단계 4

$t < 4.89$ 인 가장 큰 정수는 $t = 4$.
그 수는 $4666_7 = 4 \cdot 343 + 342 = 1372 + 342 = 1714$ 로 $2019$ 미만.
자릿수 합은 $4 + 6 + 6 + 6 = 22$.

$$4666_7 = 1714 < 2019,\;\; 4 + 6 + 6 + 6 = 22$$

💡 4학년 덧셈: 아래 세 자리에 $6$ 을 꽉 채우고 위에 $4$ 를 얹은 합법 후보.

#6 추측하고 확인하기 5.NBT.A.1 단계 5

더 큰 자릿수 합이 없는지 확인.
$t = 5$ 이면 $5666_7 = 5\cdot343 + 342 = 2057 > 2018$ 로 탈락.
아래 $6$ 들을 $6$ 보다 더 크게 만들 수도 없음(자릿수 한계).
$t = 5$ 일 때 아래는 작아져야 하므로 $5\cdot343 = 1715$ 위로 남은 여유 $2018 - 1715 = 303 = 612_7$, 아래 자릿수 합 $6+1+2 = 9$, 총 $5+9 = 14 < 22$.

$$5666_7 = 2057 > 2018;\;\; 5612_7 = 2018,\; \text{자릿수 합 } 5+6+1+2 = 14$$

💡 5학년: 천의 자릿수가 $5$ 가 되면 아래는 작게 강제되어 총합은 오히려 줄어듦.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 6

$22$ 를 선택지와 매칭.

$$22 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 4학년: 답 값을 선택지에서 고르기.

[1] #9 5.NBT.A.1 $2018$ 을 $7$ 진법으로 바꿔 자릿수 한계를 본다. $7$ 로 반복해서 나누면 $2018 = 5\cdot343 + 303$, $303 =

[2] #9 5.NBT.A.1 $5$ 자리 이상의 $7$ 진수는 $\ge 7^4 = 2401 > 2018$ 이므로 $n$ 은 최대 $4$ 자리. 자릿수 합 이론상의 상한은 $

[3] #6 6.EE.B.8 아래 세 자리를 $666_7$(자릿수 합 $18$) 으로 고정한 뒤 천의 자릿수 $t$ 를 얼마까지 키울 수 있는지 본다. 수는 $t \cdot

[4] #6 4.NBT.B.4 $t < 4.89$ 인 가장 큰 정수는 $t = 4$. 그 수는 $4666_7 = 4 \cdot 343 + 342 = 1372 + 342 = 1

[5] #6 5.NBT.A.1 더 큰 자릿수 합이 없는지 확인. $t = 5$ 이면 $5666_7 = 5\cdot343 + 342 = 2057 > 2018$ 로 탈락. 아래

[6] #3 4.NBT.A.2 $22$ 를 선택지와 매칭.

검토

합리성 확인: $4666_7$ 검산: $4 \cdot 343 + 6 \cdot 49 + 6 \cdot 7 + 6 = 1372 + 294 + 42 + 6 = 1714 < 2019$ ✓, 자릿수 합 $22$. 절대 상한 $4 \cdot 6 = 24$ 는 $6666_7 = 2400 > 2018$ 이라 도달 불가; 자릿수 합 $23$ 도 $5,6,6,6$ 같은 조합이 필요한데 가장 작은 $5666_7 = 2057 > 2018$ 이라 탈락. 따라서 $22$ 가 진짜 최댓값 — 선택지 $(C)$ 와 일치.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기·여집합): 자릿수 합을 최대화하는 대신 "부족분" $24 - \text{자릿수 합}$ 을 최소화. 부족분은 네 자리에서 $(6 - d_i)$ 의 합. $4666_7$ 에서 부족분 $= 2$, 자릿수 합 $= 24 - 2 = 22$. 답 $(C)$ 일치.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.A.2 여러 자리 자연수의 읽기·쓰기·비교 (자릿수 합 $22$ 를 선택지 값과 매칭.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈을 능숙하게 수행 ($4 + 6 + 6 + 6 = 22$ 의 자릿수 덧셈.)
5.NBT.A.1 자릿값의 의미 이해(한 자리 오른쪽보다 $10$ 배) ($7$ 진 자릿값($7^0, 7^1, 7^2, 7^3$)으로 $2018$ 과 $4666_7$ 을 해석.)
6.EE.B.8 $x > c$ 또는 $x < c$ 꼴 부등식 세우기와 수직선 표현 ($343t + 342 < 2019$ 로 합법인 가장 큰 천의 자릿수 $t = 4$ 찾기.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 자릿값 사고만 알면 풀 수 있어요! $7$ 진법 자릿수는 최대 $6$, $2018 = 5612_7$ 이라 $4$ 자리까지 허용. 아래 세 자리에 $6$ 을 꽉 채우고 위에 합법인 가장 큰 자릿수 $4$ 를 얹은 $4666_7 = 1714$ 가 정답이고, 자릿수 합 $4+6+6+6 = \mathbf{22}$, 답 $(C)$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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