AMC 10 · 2019 · #14

학년 6 arithmetic

factorialdivisibility-rulesdigit-sumlegendre-formulamodular-arithmetic identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: factorialdivisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

The base-ten representation for $19!$ is $121,6T5,100,40M,832,H00$ , where $T$ , $M$ , and $H$ denote digits that are not given. What is $T+M+H$ ?

$\textbf{(A) }3 \qquad\textbf{(B) }8 \qquad\textbf{(C) }12 \qquad\textbf{(D) }14 \qquad\textbf{(E) } 17$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $19!$ 의 십진 전개가 $121{,}6T5{,}100{,}40M{,}832{,}H00$ 일 때, 한 자리 미지 숫자 $T, M, H$ 의 합 $T + M + H$ 를 구하시오.

주어진 것: $19! = 121{,}6T5{,}100{,}40M{,}832{,}H00$ — $18$ 자리 수; $T, M, H$ 는 각각 $0, 1, \dots, 9$ 중 하나의 숫자; $19!$ 는 $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 19$ 의 곱; 선택지: $3,\, 8,\, 12,\, 14,\, 17$

구하는 것: $T + M + H$

이해

문제 재정리: $19!$ 의 십진 전개가 $121{,}6T5{,}100{,}40M{,}832{,}H00$ 일 때, 한 자리 미지 숫자 $T, M, H$ 의 합 $T + M + H$ 를 구하시오.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

도구 #7(쪼개기): 세 미지수를 독립적으로 공략 — (i) $19!$ 의 끝자리 $0$ 개수로 $H$ 결정, (ii) $9$ 의 배수 조건(자릿수 합 규칙)으로 $T+M$ 제약, (iii) $11$ 의 배수 조건(교대합 규칙)으로 $M-T$ 제약. 도구 #8 가 배수 판정 규칙 제공. 도구 #6 으로 남는 두 정수쌍을 확인. 도구 #3 으로 $T+M+H = 12$ 를 선택지 $(C)$ 와 매칭. $19!$ 을 직접 곱하는 방법도 있지만, 배수 판정이 훨씬 깔끔.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 1

$19!$ 의 끝자리 $0$ 개수로 $H$ 를 정한다.
끝자리 $0$ 은 인수 쌍 $2 \cdot 5$ 에서 나오는데 $2$ 는 충분히 많으니 $\{1, \dots, 19\}$ 안의 인수 $5$ 개수만 세면 됨 — $5, 10, 15$ 가 각각 하나씩 기여, 총 $3$ 개.

$$\#(\text{끝자리 } 0) = \lfloor 19/5 \rfloor = 3$$

💡 6학년 GCF/LCM: $10$ 한 개에 $5$ 한 개가 필요한데 $19$ 까지 $5$ 의 배수가 셋.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.A.1 단계 2

표시된 마지막 세 자리는 $H00$.
$19!$ 의 끝이 정확히 $0$ 세 개이므로 마지막 세 자리는 $000$, 즉 $H = 0$.

$$H00 = 000 \;\Rightarrow\; H = 0$$

💡 5학년 자릿값: 마지막 세 자리가 끝자리 $0$ 의 개수에서 직접 나옴.

#8 단위 살펴보기 4.OA.B.4 단계 3

$9$ 의 배수 판정: 자릿수의 합이 $9$ 의 배수이면 $9$ 의 배수.
$9 \mid 19!$ 이므로 자릿수 합도 $9$ 의 배수.
알려진 숫자 합 $1+2+1+6+5+1+0+0+4+0+8+3+2+0+0+0 = 33$ 에 미지 $T + M + H = T + M + 0$ 을 더함.

$$\text{자릿수 합} = 33 + T + M \;\equiv\; 0 \pmod{9}$$

💡 4학년 인수와 배수: $9$ 의 배수 판정으로 한 줄 검사.

#8 단위 살펴보기 4.OA.B.4 단계 4

$33 \equiv 6 \pmod 9$ 이므로 $T + M \equiv 3 \pmod 9$.
$0 \le T, M \le 9$ 에서 가능한 합은 $3$ 또는 $12$.

$$T + M \in \{3, \, 12\}$$

💡 4학년: 한 자리 두 수의 합은 최대 $18$ 이라 후보가 둘뿐.

#8 단위 살펴보기 4.OA.B.4 단계 5

$11$ 의 배수 판정: 오른쪽부터 자릿수의 교대합이 $11$ 의 배수.
자리수를 오른쪽부터 $1, 2, \dots, 18$ 로 번호 매기면 왼쪽에서 본 숫자 $1,2,1,6,T,5,1,0,0,4,0,M,8,3,2,H,0,0$ 에서 홀수 자리에는 $0, H, 3, M, 4, 0, 5, 6, 2$, 짝수 자리에는 $0, 2, 8, 0, 0, 1, T, 1, 1$.

$$\text{홀수 자리 합} = H + M + 20, \;\; \text{짝수 자리 합} = T + 13$$

💡 4학년 인수: $11$ 규칙은 자리수 교대합 — 이 문제에 딱.

#8 단위 살펴보기 6.EE.B.7 단계 6

$H = 0$ 을 넣어 교대합을 만들고 $11$ 의 배수 조건을 둔다.

$$(0 + M + 20) - (T + 13) = 7 + M - T \equiv 0 \pmod{11}$$

💡 6학년: $T, M$ 사이의 한 줄 합동식.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.7 단계 7

$M - T \equiv -7 \equiv 4 \pmod{11}$ 을 푼다.
$0 \le T, M \le 9$ 에서 차 $M - T$ 는 $[-9, 9]$ 범위, 가능한 값은 $4$ 또는 $-7$.

$$M - T \in \{4, \, -7\}$$

💡 6학년: 한 자리 범위에 맞는 정수 차이가 둘뿐.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.7 단계 8

두 조건을 네 쌍 $(T+M, M-T)$ 에 추측-확인.
정수이고 $0$–$9$ 인 해는 $(12, 4)$ 뿐 — $M = 8, T = 4$.
(나머지 셋은 반정수이거나 음수.)

$$T = 4, \; M = 8, \; H = 0$$

💡 6학년: 두 일차 조건을 합치면 숫자 쌍이 유일하게 정해짐.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 9

세 숫자를 더한다.

$$T + M + H = 4 + 8 + 0 = 12$$

💡 4학년 덧셈: 한 자리 세 수의 합.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 10

$12$ 를 선택지와 매칭.

$$12 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 4학년: 자연수 답을 선택지에서 고르기.

[1] #7 6.NS.B.4 $19!$ 의 끝자리 $0$ 개수로 $H$ 를 정한다. 끝자리 $0$ 은 인수 쌍 $2 \cdot 5$ 에서 나오는데 $2$ 는 충분히 많으니

[2] #7 5.NBT.A.1 표시된 마지막 세 자리는 $H00$. $19!$ 의 끝이 정확히 $0$ 세 개이므로 마지막 세 자리는 $000$, 즉 $H = 0$.

[3] #8 4.OA.B.4 $9$ 의 배수 판정: 자릿수의 합이 $9$ 의 배수이면 $9$ 의 배수. $9 \mid 19!$ 이므로 자릿수 합도 $9$ 의 배수. 알려진

[4] #8 4.OA.B.4 $33 \equiv 6 \pmod 9$ 이므로 $T + M \equiv 3 \pmod 9$. $0 \le T, M \le 9$ 에서 가능한 합은

[5] #8 4.OA.B.4 $11$ 의 배수 판정: 오른쪽부터 자릿수의 교대합이 $11$ 의 배수. 자리수를 오른쪽부터 $1, 2, \dots, 18$ 로 번호 매기면 왼

[6] #8 6.EE.B.7 $H = 0$ 을 넣어 교대합을 만들고 $11$ 의 배수 조건을 둔다.

[7] #6 6.EE.B.7 $M - T \equiv -7 \equiv 4 \pmod{11}$ 을 푼다. $0 \le T, M \le 9$ 에서 차 $M - T$ 는 $[-

[8] #6 6.EE.B.7 두 조건을 네 쌍 $(T+M, M-T)$ 에 추측-확인. 정수이고 $0$–$9$ 인 해는 $(12, 4)$ 뿐 — $M = 8, T = 4$.

[9] #7 4.NBT.B.4 세 숫자를 더한다.

[10] #3 4.NBT.A.2 $12$ 를 선택지와 매칭.

검토

합리성 확인: $T=4, M=8, H=0$ 을 대입하면 $121{,}645{,}100{,}408{,}832{,}000$. 자릿수 합 $= 1+2+1+6+4+5+1+0+0+4+0+8+8+3+2+0+0+0 = 45$, $9$ 의 배수 ✓. 교대합 $= (0+0+3+8+4+0+5+6+2) - (0+2+8+0+0+1+4+1+1) = 28 - 17 = 11$, $11$ 의 배수 ✓. 두 검사 모두 통과.

대안 접근: 도구 #4(격자 논리): 네 쌍 $(T+M, M-T) \in \{3,12\} \times \{4,-7\}$ 을 $2 \times 2$ 표로 그리고 각 칸을 "유효 숫자" / "탈락"으로 표시. 다른 세 칸은 $T$ 나 $M$ 이 $\{0, \dots, 9\}$ 를 벗어나거나 정수가 아니어서 탈락. $(12, 4)$ 칸만 유효 — 같은 결론, 답 $(C)$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.A.2 여러 자리 자연수의 읽기·쓰기·비교 ($12$ 를 선택지 값과 매칭.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈을 능숙하게 수행 ($T + M + H = 4 + 8 + 0 = 12$ 의 마지막 합.)
4.OA.B.4 모든 인수쌍 찾기, 배수 인식, 소수·합성 판정 ($19!$ 에 대한 $9$ 의 배수 판정과 $11$ 의 배수 판정 적용.)
5.NBT.A.1 자릿값의 의미 이해(한 자리 오른쪽보다 $10$ 배) (마지막 세 자리 $H00$ 이 $19!$ 의 끝자리 $0$ 임을 해석.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($19!$ 의 인수 $5$ 의 개수를 세어 끝자리 $0$ 이 셋임을 도출.)
6.EE.B.7 $px = q$ 꼴 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제 해결 ($T + M \equiv 3 \pmod 9$ 와 $M - T \equiv 4 \pmod{11}$ 를 합쳐 $T = 4, M = 8$ 도출.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 배수 판정만 알면 풀 수 있어요! $19!$ 의 끝자리 $0$ 은 인수 $5$ 개수 $= 3$ 이므로 $H = 0$. $9$ 의 배수 조건은 $T + M \in \{3, 12\}$, $11$ 의 배수 조건은 $M - T \in \{4, -7\}$ — 두 조건 모두 만족하는 한 자리는 $T = 4, M = 8$ 뿐. 합 $= 4 + 8 + 0 = \mathbf{12}$, 답 $(C)$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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