AMC 10 · 2019 · #15

학년 8 geometry-2d

pythagorean-theoremarea-trianglesdifference-of-squaressystems-of-equations caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-trianglessystems-of-equations

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

Right triangles $T_1$ and $T_2$ , have areas of 1 and 2, respectively. A side of $T_1$ is congruent to a side of $T_2$ , and a different side of $T_1$ is congruent to a different side of $T_2$ . What is the square of the product of the lengths of the other (third) sides of $T_1$ and $T_2$ ?

$\textbf{(A) }\frac{28}{3}\qquad\textbf{(B) }10\qquad\textbf{(C) }\frac{32}{3}\qquad\textbf{(D) }\frac{34}{3}\qquad\textbf{(E) }12$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{28}{3}$

(B)

(C)

$\frac{32}{3}$

(D)

$\frac{34}{3}$

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직각삼각형 $T_1, T_2$ 의 넓이가 각각 $1, 2$. $T_1$ 의 한 변과 $T_2$ 의 한 변이 같고, $T_1$ 의 또 다른 한 변과 $T_2$ 의 또 다른 한 변도 같다. 두 삼각형의 (공유하지 않는) 나머지 한 변씩의 곱의 제곱을 구하시오.

주어진 것: $T_1$ 은 넓이 $1$ 의 직각삼각형; $T_2$ 는 넓이 $2$ 의 직각삼각형; 두 쌍의 변이 같음: $T_1$ 의 한 변 $=$ $T_2$ 의 한 변, $T_1$ 의 다른 한 변 $=$ $T_2$ 의 다른 한 변; 두 삼각형의 "나머지(세 번째)" 변끼리는 서로 다를 수 있음(실제로 다름); 선택지: $\tfrac{28}{3},\, 10,\, \tfrac{32}{3},\, \tfrac{34}{3},\, 12$

구하는 것: $(\text{$T_1$ 의 세 번째 변})^2 \cdot (\text{$T_2$ 의 세 번째 변})^2$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

도구 #1(그림): 두 직각삼각형의 변에 다리/빗변 표기를 붙여 두 넓이를 동시에 만족시키는 유일한 역할 배정을 찾기. 도구 #9(쉬운 문제): 공유 변이 $T_1$ 에서는 "다리+빗변", $T_2$ 에서는 "다리+다리" 임을 인식하면, 두 미지수 $a, b$ 와 두 넓이 방정식만 남음. 도구 #13(대수): $ab = 4$ 와 $a^2(b^2 - a^2) = 4$ 로 $b^4 - a^4$ 를 계산. 도구 #3 으로 $\tfrac{28}{3}$ 을 선택지 $(A)$ 와 매칭.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 1

$T_1, T_2$ 를 그리고 공유 두 변의 길이를 $a < b$ 라 하자.
빗변은 가장 긴 변이므로, 가능한 역할 배정은 단 하나: $T_2$ 에서 $a, b$ 는 모두 다리(빗변은 새 길이), $T_1$ 에서 $a$ 는 다리, $b$ 는 빗변(다른 다리는 새 길이).
이 외의 배정은 두 삼각형을 합동으로 만들어 넓이가 같아져 모순.

$$T_1: \text{다리 } a, \sqrt{b^2 - a^2}, \; \text{빗변 } b. \quad T_2: \text{다리 } a, b, \; \text{빗변 } \sqrt{a^2 + b^2}.$$

💡 8학년 피타고라스: 빗변/다리 역할을 그림으로 명확히 표시.

#13 대수로 바꾸기 6.G.A.1 단계 2

두 넓이 방정식을 세운다.
$T_1$ 의 다리는 $a, \sqrt{b^2-a^2}$ 이므로 $\tfrac{1}{2} a \sqrt{b^2-a^2} = 1$.
$T_2$ 의 다리는 $a, b$ 이므로 $\tfrac{1}{2} a b = 2$.

$$\tfrac{1}{2} a \sqrt{b^2 - a^2} = 1, \quad \tfrac{1}{2} a b = 2$$

💡 6학년 넓이: 직각삼각형 넓이는 두 다리의 곱의 절반.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 3

정리: $T_2$ 에서 $ab = 4$.
$T_1$ 에서 양변을 제곱하면 $a^2(b^2 - a^2) = 4$.

$$ab = 4 \;\;\text{그리고}\;\; a^2(b^2 - a^2) = 4$$

💡 8학년 제곱: 제곱으로 근호를 없앤다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.1 단계 4

두 번째 식을 풀고 $a^2 b^2 = (ab)^2 = 16$ 을 대입.

$$a^2 b^2 - a^4 = 4 \;\Rightarrow\; 16 - a^4 = 4 \;\Rightarrow\; a^4 = 12$$

💡 8학년 지수: $a^2 b^2 = (ab)^2$ 로 식이 한 미지수의 사제곱식으로 축약.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.1 단계 5

$b = 4/a$ 이므로 $b^4 = 256/a^4 = 256/12 = 64/3$.

$$b^4 = \dfrac{(ab)^4}{a^4} = \dfrac{4^4}{12} = \dfrac{256}{12} = \dfrac{64}{3}$$

💡 8학년: $ab$ 와 $a^4$ 만 알면 $b^4$ 은 한 번의 나눗셈.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 6

공유하지 않는 변은 $T_1$ 쪽 $\sqrt{b^2 - a^2}$, $T_2$ 쪽 $\sqrt{a^2 + b^2}$.
두 변의 곱을 제곱하면 근호 안의 곱과 같다.

$$\big(\sqrt{b^2 - a^2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2}\big)^2 = (b^2 - a^2)(b^2 + a^2) = b^4 - a^4$$

💡 8학년: 합·차의 곱 $\Rightarrow$ 제곱의 차 $\Rightarrow$ $b^4 - a^4$.

#13 대수로 바꾸기 5.NF.A.1 단계 7

$b^4 = 64/3, \; a^4 = 12$ 를 대입.

$$b^4 - a^4 = \dfrac{64}{3} - 12 = \dfrac{64 - 36}{3} = \dfrac{28}{3}$$

💡 5학년 분수: 공통분모로 뺄셈.

#3 가능성 지우기 5.NF.A.1 단계 8

$\tfrac{28}{3}$ 을 선택지와 매칭.

$$\dfrac{28}{3} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 5학년: 분수 답이 첫 번째 선택지와 일치.

[1] #1 8.G.B.7 $T_1, T_2$ 를 그리고 공유 두 변의 길이를 $a < b$ 라 하자. 빗변은 가장 긴 변이므로, 가능한 역할 배정은 단 하나: $T_2$

[2] #13 6.G.A.1 두 넓이 방정식을 세운다. $T_1$ 의 다리는 $a, \sqrt{b^2-a^2}$ 이므로 $\tfrac{1}{2} a \sqrt{b^2-a^2

[3] #13 8.EE.A.2 정리: $T_2$ 에서 $ab = 4$. $T_1$ 에서 양변을 제곱하면 $a^2(b^2 - a^2) = 4$.

[4] #13 8.EE.A.1 두 번째 식을 풀고 $a^2 b^2 = (ab)^2 = 16$ 을 대입.

[5] #13 8.EE.A.1 $b = 4/a$ 이므로 $b^4 = 256/a^4 = 256/12 = 64/3$.

[6] #13 8.EE.A.2 공유하지 않는 변은 $T_1$ 쪽 $\sqrt{b^2 - a^2}$, $T_2$ 쪽 $\sqrt{a^2 + b^2}$. 두 변의 곱을 제곱하면

[7] #13 5.NF.A.1 $b^4 = 64/3, \; a^4 = 12$ 를 대입.

[8] #3 5.NF.A.1 $\tfrac{28}{3}$ 을 선택지와 매칭.

검토

합리성 확인: 수치 검산: $a^4 = 12 \Rightarrow a^2 = 2\sqrt{3}$, $b^2 = 16/a^2 = 8/\sqrt{3}$. $T_1$ 의 다른 다리 $= \sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{2/\sqrt{3}}$, $T_2$ 의 빗변 $= \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{14/\sqrt{3}}$. 두 변 곱의 제곱 $= (2/\sqrt{3})(14/\sqrt{3}) = 28/3$ ✓. 근삿값 점검: $a \approx 1.86, b \approx 2.15$. $T_2$ 넓이 $\approx \tfrac{1}{2}(1.86)(2.15) \approx 2.00$ ✓, $T_1$ 넓이 $\approx \tfrac{1}{2}(1.86)(1.07) \approx 1.00$ ✓.

대안 접근: 도구 #2(역할 배정 체계적 나열): 두 직각삼각형이 두 변을 공유하는 방식은 (i) 양쪽에서 둘 다 다리 — 피타고라스로 빗변까지 같아져 합동, 넓이도 같음 → 탈락. (ii) 양쪽에서 다리 + 빗변 — 역시 합동. (iii) 한쪽은 다리+빗변, 다른 쪽은 다리+다리 — 비합동 가능. 오직 (iii) 만 넓이 $1 \ne 2$ 를 허용 — 같은 풀이, 같은 답 $(A)$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 (마지막 단계에서 $\tfrac{64}{3} - 12 = \tfrac{28}{3}$ 계산.)
6.G.A.1 삼각형·특수사각형·다각형의 넓이를 분해·구성으로 구하기 (각 직각삼각형의 넓이를 두 다리 곱의 절반으로 표현.)
8.EE.A.1 정수 지수의 성질을 알고 적용 ($(ab)^2 = a^2 b^2$, $b^4 = (ab)^4 / a^4$ 등 지수 조작.)
8.EE.A.2 제곱근·세제곱근 기호로 해 표현 ($T_1$ 넓이식의 제곱과 제곱의 차 $b^4 - a^4 = (b^2-a^2)(b^2+a^2)$ 적용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 미지 변 길이 구하기 ($T_1, T_2$ 에서 빗변·다리 역할 결정 및 세 번째 변 $\sqrt{b^2 - a^2}, \sqrt{a^2 + b^2}$ 도출.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스만 알면 풀 수 있어요! 공유 두 변 $a, b$ 는 $T_2$ 에서는 다리 두 개, $T_1$ 에서는 다리와 빗변으로 서로 다른 역할을 해야 함. 두 넓이 식에서 $ab = 4$, $a^2(b^2 - a^2) = 4$ — 그래서 $a^4 = 12$, $b^4 = 64/3$. 나머지 두 변 곱의 제곱은 $(b^2-a^2)(b^2+a^2) = b^4 - a^4 = \mathbf{\tfrac{28}{3}}$, 답 $(A)$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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