AMC 10 · 2019 · #17

학년 8 probability

probability-basicsymmetry-argumentsequences-geometriccomplementary-counting complementary-countingpattern-recognition ↑ 선수 지식: probability-basicsequences-geometric

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

A red ball and a green ball are randomly and independently tossed into bins numbered with the positive integers so that for each ball, the probability that it is tossed into bin $k$ is $2^{-k}$ for $k = 1,2,3....$ What is the probability that the red ball is tossed into a higher-numbered bin than the green ball?
$\textbf{(A) } \frac{1}{4} \qquad\textbf{(B) } \frac{2}{7} \qquad\textbf{(C) } \frac{1}{3} \qquad\textbf{(D) } \frac{3}{8} \qquad\textbf{(E) } \frac{3}{7}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{2}{7}$

(C)

$\frac{1}{3}$

(D)

$\frac{3}{8}$

(E)

$\frac{3}{7}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 빨간 공과 초록 공을 양의 정수 $1, 2, 3, \ldots$ 으로 번호 매겨진 상자에 독립적으로 던집니다. 각 공이 상자 $k$ 에 들어갈 확률은 $2^{-k}$ 입니다. 빨간 공이 초록 공보다 더 큰 번호 상자에 들어갈 확률을 구하세요.

주어진 것: $k = 1, 2, 3, \ldots$ 에 대해 $P(\text{빨강이 상자 } k) = 2^{-k}$; 초록 공도 같은 분포이고 두 공의 던지기는 독립; 분포 합: $\sum_{k=1}^{\infty} 2^{-k} = 1$; 선택지: (A) $1/4$, (B) $2/7$, (C) $1/3$, (D) $3/8$, (E) $3/7$

구하는 것: $P(R > G)$ — 빨강의 상자 번호 $R$ 이 초록의 상자 번호 $G$ 보다 클 확률

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #15 다르게 정리하기, #5 패턴 찾기

도구 #16 (관점 바꾸기): $R > G$ 의 경우를 직접 합산하는 것은 번거로움 — 동점 확률 $P(R = G)$ 와 대칭을 이용. 도구 #15 (다르게 정리): 세 사건 $R > G$, $R < G$, $R = G$ 가 표본공간 분할. 도구 #5 (패턴): 동점 확률은 $4^{-k}$ 의 등비급수.

실행 — 정답: C

#15 다르게 정리하기 7.SP.C.7 단계 1

대칭: 빨강 $\leftrightarrow$ 초록 을 바꿔도 분포는 동일하므로 $P(R > G) = P(R < G)$.
이 공통 값을 $p$ 라 하자.

$$P(R > G) = P(R < G) = p$$

💡 빨강이 이기는 경우와 초록이 이기는 경우는 거울상 — 확률 같음.

#15 다르게 정리하기 7.SP.C.7 단계 2

세 사건 $R > G$, $R < G$, $R = G$ 는 서로 배반이며 모두 합쳐 전체 — 확률의 합 $= 1$.

$$P(R > G) + P(R < G) + P(R = G) = 1$$

💡 세 가지 중 정확히 하나만 일어남.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.8 단계 3

동점 확률 $P(R = G)$ 계산: 각 상자 $k$ 에 대해 둘 다 그 상자에 들어갈 확률은 $2^{-k} \cdot 2^{-k} = 4^{-k}$ (독립).

$$P(R = G) = \sum_{k=1}^{\infty} 4^{-k}$$

💡 동점이 가장 세기 쉬운 경우 — 상자 하나를 고정하면 됨.

#5 패턴 찾기 8.EE.A.1 단계 4

초항 $\frac{1}{4}$, 공비 $\frac{1}{4}$ 인 등비급수의 합: $\sum_{k=1}^{\infty} 4^{-k} = \dfrac{1/4}{1 - 1/4} = \dfrac{1}{3}$.

$$P(R = G) = \dfrac{1/4}{1 - 1/4} = \dfrac{1}{3}$$

💡 등비급수 합 공식: 초항 / (1 - 공비).

#16 관점 바꾸기 6.EE.B.7 단계 5

대입: $2p + \dfrac{1}{3} = 1 \Rightarrow 2p = \dfrac{2}{3} \Rightarrow p = \dfrac{1}{3}$.
따라서 $P(R > G) = \dfrac{1}{3}$.
답은 (C).

$$2p + \dfrac{1}{3} = 1 \Rightarrow p = \dfrac{1}{3}$$

💡 $p$ 에 대한 일차방정식 한 단계 — 대칭 트릭 적중.

[1] #15 7.SP.C.7 대칭: 빨강 $\leftrightarrow$ 초록 을 바꿔도 분포는 동일하므로 $P(R > G) = P(R < G)$. 이 공통 값을 $p$ 라

[2] #15 7.SP.C.7 세 사건 $R > G$, $R < G$, $R = G$ 는 서로 배반이며 모두 합쳐 전체 — 확률의 합 $= 1$.

[3] #16 7.SP.C.8 동점 확률 $P(R = G)$ 계산: 각 상자 $k$ 에 대해 둘 다 그 상자에 들어갈 확률은 $2^{-k} \cdot 2^{-k} = 4^{-

[4] #5 8.EE.A.1 초항 $\frac{1}{4}$, 공비 $\frac{1}{4}$ 인 등비급수의 합: $\sum_{k=1}^{\infty} 4^{-k} = \dfr

[5] #16 6.EE.B.7 대입: $2p + \dfrac{1}{3} = 1 \Rightarrow 2p = \dfrac{2}{3} \Rightarrow p = \dfrac{

검토

합리성 확인: 세 결과 (빨강 승, 초록 승, 동점) 각각 확률 $1/3$ — 깔끔하게 대칭. 처음 몇 동점으로 확인: $(1,1), (2,2), (3,3), \ldots$ 의 합 $1/4 + 1/16 + 1/64 + \ldots = 1/3$. ✓. 그리고 빨강 승 사건 $(R,G) = (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), \ldots$ 를 직접 합산: $\sum_{g=1}^{\infty} 2^{-g} \cdot 2^{-g} = 1/3$. ✓.

대안 접근: 도구 #2 (나열) + 도구 #5 (패턴): 초록이 상자 $g$ 에 들어갔다고 조건부 — 그러면 $P(R > g) = \sum_{r=g+1}^{\infty} 2^{-r} = 2^{-g}$. 따라서 $P(R > G) = \sum_{g=1}^{\infty} 2^{-g} \cdot 2^{-g} = \sum_{g=1}^{\infty} 4^{-g} = 1/3$ — 같은 답, 좀 더 긴 경로.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.7 $px = q$ 형태의 방정식 세우고 풀기 ($2p + 1/3 = 1$ 을 $p$ 에 대해 풀이.)
7.SP.C.7 확률 모델을 만들고 사건의 확률 구하기 (대칭 $P(R > G) = P(R < G)$ 와 표본공간을 세 사건으로 분할.)
7.SP.C.8 조직적 나열·표·시뮬레이션으로 복합사건의 확률 구하기 (독립성으로 동점 확률 $\sum_k P(R=k)P(G=k) = \sum_k 4^{-k}$ 계산.)
8.EE.A.1 정수 지수의 성질 알기·적용 (무한 등비급수 $\sum_{k=1}^{\infty} 4^{-k} = 1/3$ 의 합.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 지수 추론만 알면 풀 수 있어요 — 대칭에 의해 빨강 승과 초록 승의 확률이 같고, 동점은 $1/3$ (등비급수). 따라서 $P(R > G) = (1 - 1/3)/2 = 1/3$. 답은 $\textbf{(C)}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

비슷한 유형 더 풀어보기