AMC 10 · 2019 · #18

학년 8 rate-ratio

recursive-sequencesequences-geometriclinear-equations-two-varsystems-of-equations identify-subproblemswork-backwards ↑ 선수 지식: linear-equations-two-varsequences-geometric

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Henry decides one morning to do a workout, and he walks $\tfrac{3}{4}$ of the way from his home to his gym. The gym is $2$ kilometers away from Henry's home. At that point, he changes his mind and walks $\tfrac{3}{4}$ of the way from where he is back toward home. When he reaches that point, he changes his mind again and walks $\tfrac{3}{4}$ of the distance from there back toward the gym. If Henry keeps changing his mind when he has walked $\tfrac{3}{4}$ of the distance toward either the gym or home from the point where he last changed his mind, he will get very close to walking back and forth between a point $A$ kilometers from home and a point $B$ kilometers from home. What is $|A-B|$ ?

$\textbf{(A) } \frac{2}{3} \qquad \textbf{(B) } 1 \qquad \textbf{(C) } 1 \frac{1}{5} \qquad \textbf{(D) } 1 \frac{1}{4} \qquad \textbf{(E) } 1 \frac{1}{2}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2}{3}$

(B)

(C)

$1 \frac{1}{5}$

(D)

$1 \frac{1}{4}$

(E)

$1 \frac{1}{2}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Henry 의 집은 $0$ km 지점, 체육관은 $2$ km 지점. 그는 체육관 쪽으로 $3/4$ 만큼 걷고, 거기서 집 쪽으로 $3/4$ 만큼 걷고, 다시 체육관 쪽으로 $3/4$ 만큼 걷기를 반복합니다. 매번 남은 거리의 $3/4$ 만큼 가면 방향을 바꾸는 식. 결국 그의 왕복은 두 극한점 $A$ (집에 가까움) 과 $B$ (체육관에 가까움) 사이에 수렴합니다. $|A - B|$ 를 구하세요.

주어진 것: 집은 $0$ km, 체육관은 $2$ km; 매 구간 현재 위치에서 목표까지 거리의 $3/4$ 만큼 걷고 방향 전환; 목표는 체육관, 집, 체육관, 집, $\ldots$ 으로 번갈아; $A$ = 집에 가까운 극한점, $B$ = 체육관에 가까운 극한점; 선택지: (A) $2/3$, (B) $1$, (C) $1\tfrac{1}{5}$, (D) $1\tfrac{1}{4}$, (E) $1\tfrac{1}{2}$

구하는 것: $|A - B|$ — 두 극한점 사이의 거리

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #1 그림 그리기, #11 거꾸로 풀기

도구 #1 (그림): 수직선 $0$ (집) 부터 $2$ (체육관) 까지에 $A, B$ 표시 — 그림 한 장이 곧 식. 도구 #13 (대수): 극한 조건이 $A, B$ 에 대한 두 일차식을 줌. 도구 #11 (거꾸로): 처음부터 시뮬레이션 대신 극한 점이 만족하는 고정식을 직접 풂.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 5.NF.B.4 단계 1

수직선 $0$ (집) 부터 $2$ (체육관) 그리고 $A$ 는 $0$ 과 $B$ 사이, $B$ 는 $A$ 와 $2$ 사이.
$B$ 에서 집 쪽으로 $3/4$ 만큼 가면 $B$ 에서 $\tfrac{3}{4} B$ 를 뺀 위치 $= \tfrac{1}{4} B$, 이것이 $A$.

$$A = \dfrac{1}{4}B$$

💡 $0$ 쪽으로 $3/4$ 가면 $1/4$ 만 남음 — 출발 위치의 $1/4$ 지점.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.2 단계 2

$A$ 에서 체육관 쪽으로 $3/4$ 만큼: $A + \tfrac{3}{4}(2 - A) = \tfrac{1}{4}A + \tfrac{3}{2} = B$.

$$B = \dfrac{1}{4}A + \dfrac{3}{2}$$

💡 같은 $1/4$ 남기기 트릭, 다만 목표가 $0$ 이 아니라 $2$.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 3

$A = \tfrac{1}{4}B$ 를 두 번째 식에 대입: $B = \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{1}{4}B + \tfrac{3}{2} = \tfrac{1}{16}B + \tfrac{3}{2}$.
정리: $\tfrac{15}{16}B = \tfrac{3}{2}$.

$$\dfrac{15}{16}B = \dfrac{3}{2}$$

💡 한 식에 다른 식 대입 — $B$ 하나에 대한 일차식.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 4

$B$ 풀이: $B = \tfrac{3}{2} \cdot \tfrac{16}{15} = \tfrac{8}{5}$.
따라서 $A = \tfrac{1}{4}B = \tfrac{2}{5}$.

$$B = \dfrac{8}{5},\;\; A = \dfrac{2}{5}$$

💡 한 단계 나눗셈으로 $B$, 그다음 $A = B/4$.

#11 거꾸로 풀기 5.NF.A.1 단계 5

차이: $|A - B| = \left|\tfrac{2}{5} - \tfrac{8}{5}\right| = \tfrac{6}{5} = 1\tfrac{1}{5}$.
답은 (C).

$$|A - B| = \dfrac{6}{5} = 1\tfrac{1}{5}$$

💡 같은 분모의 두 분수 차 — 쉬움.

[1] #1 5.NF.B.4 수직선 $0$ (집) 부터 $2$ (체육관) 그리고 $A$ 는 $0$ 과 $B$ 사이, $B$ 는 $A$ 와 $2$ 사이. $B$ 에서 집 쪽으

[2] #13 6.EE.A.2 $A$ 에서 체육관 쪽으로 $3/4$ 만큼: $A + \tfrac{3}{4}(2 - A) = \tfrac{1}{4}A + \tfrac{3}{2}

[3] #13 8.EE.C.7 $A = \tfrac{1}{4}B$ 를 두 번째 식에 대입: $B = \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{1}{4}B + \tfrac

[4] #13 8.EE.C.7 $B$ 풀이: $B = \tfrac{3}{2} \cdot \tfrac{16}{15} = \tfrac{8}{5}$. 따라서 $A = \tfrac{

[5] #11 5.NF.A.1 차이: $|A - B| = \left|\tfrac{2}{5} - \tfrac{8}{5}\right| = \tfrac{6}{5} = 1\tfrac

검토

합리성 확인: 극한점 확인: $B = 8/5$ 에서 집 쪽으로 $3/4$ 만큼 = $(3/4)(8/5) = 6/5$ km 이동, 도착 $8/5 - 6/5 = 2/5 = A$. ✓. $A = 2/5$ 에서 체육관 쪽으로 $3/4$ 만큼 = $(3/4)(2 - 2/5) = (3/4)(8/5) = 6/5$ km 이동, 도착 $2/5 + 6/5 = 8/5 = B$. ✓. 간격 $6/5 = 1.2$ km — 선택지 $1$ 과 $1.5$ 사이.

대안 접근: 도구 #9 (더 쉬운 문제) + 도구 #5 (패턴): 처음 몇 위치를 시뮬레이션. $x_0 = 0, x_1 = 3/2, x_2 = 3/8, x_3 = 51/32, \ldots$. 홀수 인덱스는 $B = 8/5$ 로, 짝수 인덱스는 $A = 2/5$ 로 수렴. 같은 간격 $6/5$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 ($|A - B| = 8/5 - 2/5 = 6/5$ 계산.)
5.NF.B.4 분수 곱셈을 확장 — 분수 × 분수 (거리의 $3/4$ 를 계산해 도착점 $A = B/4$ 도출.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식의 작성·읽기·계산 ($B = A + \tfrac{3}{4}(2 - A)$ 를 대수적으로 표현.)
8.EE.C.7 일변수 일차방정식 풀이 ($\tfrac{15}{16}B = \tfrac{3}{2}$ 을 $B$ 에 대해 풀이.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 일차방정식만 알면 풀 수 있어요 — 극한에서 Henry 의 두 점 $A, B$ 는 $A = B/4$, $B = A/4 + 3/2$ 를 만족하므로 $B = 8/5$, $A = 2/5$, 간격은 $6/5 = 1\tfrac{1}{5}$. 답은 $\textbf{(C)}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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