AMC 10 · 2019 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

area-circlescoordinate-geometrypythagorean-theoremthirty-sixty-ninety-triangle area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlescoordinate-geometrypythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 5 개 인사이트 📊 도형

문제

As shown in the figure, line segment $\overline{AD}$ is trisected by points $B$ and $C$ so that $AB=BC=CD=2.$ Three semicircles of radius $1,$ $\overarc{AEB},\overarc{BFC},$ and $\overarc{CGD},$ have their diameters on $\overline{AD},$ lie in the same halfplane determined by line $AD$ , and are tangent to line $EG$ at $E,F,$ and $G,$ respectively. A circle of radius $2$ has its center on $F.$ The area of the region inside the circle but outside the three semicircles, shaded in the figure, can be expressed in the form
$\frac{a}{b}\cdot\pi-\sqrt{c}+d,$
where $a,b,c,$ and $d$ are positive integers and $a$ and $b$ are relatively prime. What is $a+b+c+d$ ?

$\textbf{(A) } 13 \qquad\textbf{(B) } 14 \qquad\textbf{(C) } 15 \qquad\textbf{(D) } 16\qquad\textbf{(E) } 17$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 선분 $\overline{AD}$ 위에 반지름 $1$ 인 합동 반원 세 개($AB = BC = CD = 2$)가 나란히 놓여 있고 각각의 꼭대기는 $E, F, G$. 큰 원(반지름 $2$)의 중심은 $F$. 음영 영역 $=$ (큰 원 내부) $-$ (세 반원의 합집합)을 $\tfrac{a}{b}\pi - \sqrt{c} + d$ 형태 ($\gcd(a, b) = 1$) 로 쓰고 $a + b + c + d$ 를 구하세요.

주어진 것: 세 반원: 중심 $(-2, -1), (0, -1), (2, -1)$, 반지름 $1$, 위쪽 절반 (asy 좌표에서 $F = (0, 0)$ 이 중간 반원 꼭대기); 큰 원: 중심 $F = (0, 0)$, 반지름 $2$; 음영 = (큰 원판) $\setminus$ (세 반원의 합집합); 선택지: (A) $13$, (B) $14$, (C) $15$, (D) $16$, (E) $17$

구하는 것: $a + b + c + d$, 음영 $= \tfrac{a}{b}\pi - \sqrt{c} + d$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #16 관점 바꾸기

도구 #1 (그림): asy 도면에서 좌표 설정 — $F = (0, 0)$, 큰 원 원점 중심 반지름 $2$, 작은 반원 중심 $(-2,-1), (0,-1), (2,-1)$. 도구 #7 (쪼개기): (a) 중간 반원 (전체가 큰 원 안), (b) 좌·우 반원이 큰 원과 겹치는 부분. 도구 #16 (관점): 음영 $=$ (큰 원판) $-$ (반원 내부 부분).

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 8.G.B.8 단계 1

좌표 설정.
$F = (0, 0)$.
큰 원 $x^2 + y^2 = 4$.
중간 반원 중심 $(0, -1)$ 반지름 $1$, 위쪽 절반 ($y \ge -1$).
우측 반원 ($\overarc{CGD}$) 중심 $(2, -1)$ 반지름 $1$, 위쪽 절반.
좌우 대칭이므로 좌측 반원도 우측과 동일 기여.

$$\text{큰: } x^2 + y^2 = 4;\;\; \text{작은: } (x \pm 2)^2 + (y+1)^2 = 1 \text{ 또는 } x^2 + (y+1)^2 = 1$$

💡 asy 좌표를 그대로 사용 — 거리와 교점이 산수가 됨.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

중간 반원은 전체가 큰 원 안.
검증: 위쪽 반원의 점은 $(\cos t, -1 + \sin t)$ ($t \in [0, \pi]$).
원점으로부터의 거리 $= \sqrt{2 - 2\sin t} \le \sqrt{2} < 2$.
따라서 중간 반원 전부가 큰 원판 내부.
넓이 $= \pi/2$.

$$\text{중간 반원} \cap \text{큰} = \pi/2$$

💡 가운데 봉우리는 큰 원 안에 깔끔히 들어감.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.8 단계 3

큰 원과 우측 작은 원의 교점 구하기.
$x^2 + y^2 = 4$ 와 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 1$ 을 빼면 $-4x + 4 + 2y + 1 = -3$, 즉 $y = 2x - 4$.
대입: $5x^2 - 16x + 12 = 0 \Rightarrow x = 2$ 또는 $x = 6/5$.
따라서 $G = (2, 0)$ 과 $P = (6/5, -8/5)$.

$$(2, 0) = G,\;\; (6/5,\,-8/5) = P$$

💡 두 원의 교점은 두 개 — 대수로 둘 다 구함.

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 4

$P = (6/5, -8/5)$ 는 $y = -8/5 < -1$ 이므로 지름선 $y = -1$ 아래.
따라서 $P$ 는 위쪽 반원 경계 위에 있지 않음.
위쪽 반원은 호와 지름 ($y = -1$ 위 $C = (1, -1)$ 부터 $D = (3, -1)$) 으로 둘러싸임.
큰 원이 $y = -1$ 과 만나는 점: $x^2 + 1 = 4 \Rightarrow x = \sqrt{3}$ (양의 값이 $[1, 3]$ 안).

$$\sqrt{3} \approx 1.732 \in [1, 3]$$

💡 큰 원이 우측 반원의 지름선을 $[1, 3]$ 구간 안에서 자름.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 5

(우측 반원) $\cap$ (큰 원판) 영역의 경계는 세 곡선: (i) $y = -1$ 위 $C(1, -1)$ 부터 $(\sqrt{3}, -1)$, (ii) 큰 원 호 $(\sqrt{3}, -1)$ 부터 $G(2, 0)$, (iii) 작은 원 호 $G$ 부터 $C$ (작은 원의 좌상 사분원).
삼각형 + 두 활꼴로 분해.

$$\text{삼각형 } T = C(1,-1),\, V(\sqrt{3},-1),\, G(2,0)$$

💡 현으로 이루어진 다각형을 만든 후 호가 만드는 활꼴을 더함.

#1 그림 그리기 8.G.B.8 단계 6

삼각형 넓이 (꼭짓점 $(1,-1), (\sqrt{3},-1), (2, 0)$): 신발끈 공식.
$T = \tfrac{1}{2}|1(-1-0) + \sqrt{3}(0-(-1)) + 2(-1-(-1))| = \tfrac{1}{2}|\!-\!1 + \sqrt{3} + 0| = \tfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$.

$$T = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$$

💡 신발끈 공식 — 세 점 좌표만으로 삼각형 넓이.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 7

큰 원 활꼴 (현 $V$–$G$ 와 호 사이).
현 끝점의 중심각: $V = (\sqrt{3}, -1)$ 에서 $\arctan(-1/\sqrt{3}) = -\pi/6$, $G = (2, 0)$ 에서 $0$.
부채꼴 넓이 $= \tfrac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{\pi}{3}$.
원점에서의 삼각형: $\tfrac{1}{2}|0(-1-0) + \sqrt{3}(0-0) + 2(0-(-1))| = 1$.
활꼴 $= \tfrac{\pi}{3} - 1$.

$$\text{큰 활꼴} = \dfrac{\pi}{3} - 1$$

💡 부채꼴에서 삼각형을 빼면 활꼴.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 8

작은 원 활꼴 (현 $C$–$G$ 와 좌상 사분원 호 사이).
호는 중심 $(2, -1)$ 에서 각도 $\pi/2$ 부터 $\pi$ — 사분원.
부채꼴 $= \tfrac{1}{4}\pi$.
중심 $(2,-1)$ 에서의 삼각형 (정점 $C(1,-1), G(2, 0)$): $\tfrac{1}{2}|2(-1-0) + 1(0-(-1)) + 2(-1-(-1))| = \tfrac{1}{2}$.
활꼴 $= \tfrac{\pi}{4} - \tfrac{1}{2}$.

$$\text{작은 활꼴} = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2}$$

💡 사분원에서 직각삼각형을 빼기.

#1 그림 그리기 7.G.B.6 단계 9

합산: 우측 반원 $\cap$ 큰 원판 $= T + \text{큰 활꼴} + \text{작은 활꼴} = \tfrac{\sqrt{3}-1}{2} + (\tfrac{\pi}{3} - 1) + (\tfrac{\pi}{4} - \tfrac{1}{2}) = \tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{7\pi}{12} - 2$.
대칭에 의해 좌측도 동일.

$$\text{우측 반원} \cap \text{큰} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{7\pi}{12} - 2$$

💡 세 조각 모두 영역 안 — 더하기.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 10

총 (반원 $\cap$ 큰) $= \tfrac{\pi}{2} + 2 \cdot (\tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{7\pi}{12} - 2) = \tfrac{\pi}{2} + \sqrt{3} + \tfrac{7\pi}{6} - 4 = \tfrac{5\pi}{3} + \sqrt{3} - 4$.

$$\text{반원} \cap \text{큰} = \dfrac{5\pi}{3} + \sqrt{3} - 4$$

💡 중간 봉우리 + 좌우 동일한 두 봉우리.

#16 관점 바꾸기 7.G.B.6 단계 11

음영 $= 4\pi - (\tfrac{5\pi}{3} + \sqrt{3} - 4) = \tfrac{7\pi}{3} - \sqrt{3} + 4$.
따라서 $a = 7, b = 3, c = 3, d = 4$ 이고 $\gcd(7, 3) = 1$.
합 $= 7 + 3 + 3 + 4 = 17$.
답은 (E).

$$\text{음영} = \dfrac{7\pi}{3} - \sqrt{3} + 4 \;\Rightarrow\; a + b + c + d = 17$$

💡 큰 원판에서 반원 겹침을 빼고 — 형태도 일치.

[1] #1 8.G.B.8 좌표 설정. $F = (0, 0)$. 큰 원 $x^2 + y^2 = 4$. 중간 반원 중심 $(0, -1)$ 반지름 $1$, 위쪽 절반 ($y

[2] #7 7.G.B.4 중간 반원은 전체가 큰 원 안. 검증: 위쪽 반원의 점은 $(\cos t, -1 + \sin t)$ ($t \in [0, \pi]$). 원점으로

[3] #7 8.G.B.8 큰 원과 우측 작은 원의 교점 구하기. $x^2 + y^2 = 4$ 와 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 1$ 을 빼면 $-4x + 4 +

[4] #1 8.G.B.7 $P = (6/5, -8/5)$ 는 $y = -8/5 < -1$ 이므로 지름선 $y = -1$ 아래. 따라서 $P$ 는 위쪽 반원 경계 위에 있

[5] #7 7.G.B.6 (우측 반원) $\cap$ (큰 원판) 영역의 경계는 세 곡선: (i) $y = -1$ 위 $C(1, -1)$ 부터 $(\sqrt{3}, -1)

[6] #1 8.G.B.8 삼각형 넓이 (꼭짓점 $(1,-1), (\sqrt{3},-1), (2, 0)$): 신발끈 공식. $T = \tfrac{1}{2}|1(-1-0)

[7] #7 7.G.B.4 큰 원 활꼴 (현 $V$–$G$ 와 호 사이). 현 끝점의 중심각: $V = (\sqrt{3}, -1)$ 에서 $\arctan(-1/\sqrt{

[8] #7 7.G.B.4 작은 원 활꼴 (현 $C$–$G$ 와 좌상 사분원 호 사이). 호는 중심 $(2, -1)$ 에서 각도 $\pi/2$ 부터 $\pi$ — 사분원.

[9] #1 7.G.B.6 합산: 우측 반원 $\cap$ 큰 원판 $= T + \text{큰 활꼴} + \text{작은 활꼴} = \tfrac{\sqrt{3}-1}{2}

[10] #7 7.G.B.6 총 (반원 $\cap$ 큰) $= \tfrac{\pi}{2} + 2 \cdot (\tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{7\pi}{

[11] #16 7.G.B.6 음영 $= 4\pi - (\tfrac{5\pi}{3} + \sqrt{3} - 4) = \tfrac{7\pi}{3} - \sqrt{3} + 4$.

검토

합리성 확인: 수치 확인: 음영 $\approx \tfrac{7 \cdot 3.14159}{3} - 1.732 + 4 \approx 7.330 - 1.732 + 4 \approx 9.598$. 큰 원 $= 4\pi \approx 12.566$. 차 $\approx 2.97$ 이 반원 합집합 넓이여야 함. 중간 $\pi/2 \approx 1.571$, 좌·우 각각 $\approx 0.699$, 합 $\approx 2.969$. ✓. 네 상수 모두 양의 정수, $\gcd(7, 3) = 1$. 합 $= 17$.

대안 접근: 도구 #15 (다르게 정리): 큰 원판을 $\overline{EG}$ 선 ($F$ 를 지나며 세 반원에 접) 으로 분할. 위쪽 절반($2\pi$)에는 반원이 없음. 아래쪽 절반($2\pi$)에 세 봉우리가 있어 부기 절반. 같은 $\tfrac{7\pi}{3} - \sqrt{3} + 4$ 도달.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.B.4 원의 둘레·넓이 공식 (큰 원 부채꼴 ($\pi/3$) 과 작은 원 사분원 ($\pi/4$) 의 넓이 계산.)
7.G.B.6 넓이·겉넓이·부피 관련 실생활 문제 해결 (음영 = (큰 원판) - (반원 겹침) 로 조립해 목표 형태로 정리.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 미지변 길이 결정 ($y = -1$ 과 큰 원의 교점 ($x = \sqrt{3}$) 및 현 길이 계산.)
8.G.B.8 좌표평면 위 두 점 사이 거리에 피타고라스 정리 적용 (원의 방정식 세우고 두 원의 교점 풀이.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 좌표기하만 알면 풀 수 있어요 — $F$ 를 원점에 두고 두 원의 교점 ($G$ 와 큰 원이 $y = -1$ 과 만나는 $x = \sqrt{3}$) 을 찾은 후 한쪽당 삼각형 + 활꼴 두 개를 더하면 음영 $= \tfrac{7\pi}{3} - \sqrt{3} + 4$, 따라서 $a + b + c + d = 7 + 3 + 3 + 4 = 17$. 답은 $\textbf{(E)}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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