AMC 10 · 2019 · #22

학년 7 probability

probability-basicsymmetry-argumentconditional-probabilityinvariant-monovariant systematic-enumerationpattern-recognition ↑ 선수 지식: probability-basicconditional-probability

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Raashan, Sylvia, and Ted play the following game. Each starts with $1$. A bell rings every $15$ seconds, at which time each of the players who currently have money simultaneously chooses one of the other two players independently and at random and gives$ 1 $to that player. What is the probability that after the bell has rung$ 2019 $times, each player will have$ $1$ ? (For example, Raashan and Ted may each decide to give $1$ to Sylvia, and Sylvia may decide to give her dollar to Ted, at which point Raashan will have$ 0 $, Sylvia will have$ $2$ , and Ted will have $1$, and that is the end of the first round of play. In the second round Rashaan has no money to give, but Sylvia and Ted might choose each other to give their$ 1$ to, and the holdings will be the same at the end of the second round.)

$\textbf{(A) } \frac{1}{7} \qquad\textbf{(B) } \frac{1}{4} \qquad\textbf{(C) } \frac{1}{3} \qquad\textbf{(D) } \frac{1}{2} \qquad\textbf{(E) } \frac{2}{3}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{7}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{1}{3}$

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

$\frac{2}{3}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 명 (Raashan, Sylvia, Ted) 이 각각 $\$1$ 로 시작. 매번 종이 울릴 때, 돈이 있는 사람들 모두 동시에 나머지 두 사람 중 한 명을 균등 무작위로 골라 $\$1$ 을 줍니다. 종이 $2019$ 번 울린 후 세 명이 모두 다시 $\$1$ 씩 가질 확률은?

주어진 것: 세 명, 총 $\$3$ 항상 보존; 돈 있는 사람은 다른 두 사람 중 한 명을 균등 무작위로 (독립적으로) 선택; 종 횟수 = $2019$; 선택지: (A) $\tfrac{1}{7}$, (B) $\tfrac{1}{4}$, (C) $\tfrac{1}{3}$, (D) $\tfrac{1}{2}$, (E) $\tfrac{2}{3}$

구하는 것: $2019$ 번 울린 뒤 상태가 다시 $(1, 1, 1)$ 일 확률

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #5 패턴 찾기, #15 다르게 정리하기, #3 가능성 지우기

도구 #9 (더 쉬운 문제): $2019$ 가 부담 — 종 $1$ 번, $2$ 번부터 풀어보고 답이 횟수에 의존하는지 확인. 도구 #2 (빠짐없이 나열): $(1,1,1)$ 에서 출발하는 $2 \times 2 \times 2 = 8$ 가지 결과 나열. 도구 #15 (다르게 정리): $6$ 가지 순서 있는 $(2,1,0)$ 상태를 대칭으로 한 묶음. 도구 #5 (패턴): 전이 확률 계산 시, 어느 상태에서든 다음 단계 $(1,1,1)$ 확률이 같음 → 횟수와 무관.

실행 — 정답: B

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 1

$2019$ 를 종 $1$ 번 문제로 대체.
상태 $(1,1,1)$ 에서 결과 나열: 각자 $2$ 명 중 하나 선택 → $2^3 = 8$ 가지 동등 확률.
세 명을 원형 $R, S, T$ 로 배치.
각자 시계 방향(CW) 또는 반시계(CCW) 로 줄 수 있음.

$$(1,1,1) \text{ 에서 결과 수} = 2 \times 2 \times 2 = 8$$

💡 $8$ 가지 동시 선택을 나열하고 어떤 것이 $(1,1,1)$ 로 돌아오는지 확인.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

$8$ 개 중 $(1,1,1)$ 로 돌아오는 경우: 세 명 모두 같은 회전 방향 (전부 CW 또는 전부 CCW) 일 때만 — $2$ 개.
따라서 $P((1,1,1) \to (1,1,1)) = \tfrac{2}{8} = \tfrac{1}{4}$, $P((1,1,1) \to (2,1,0)\text{ 형}) = \tfrac{6}{8} = \tfrac{3}{4}$.

$$P((1,1,1) \to (1,1,1)) = \tfrac{2}{8} = \tfrac{1}{4}$$

💡 $8$ 중 $2$ 패턴만 한 방향 회전이라 균등 유지.

#15 다르게 정리하기 7.SP.C.8 단계 3

다음 어려운 경우: $(2,1,0)$ 에서 시작.
돈 있는 사람은 둘 — $\$2$ 보유자 A, $\$1$ 보유자 B (C 는 $\$0$). 각자 $2$ 명 중 선택 → $2 \times 2 = 4$. 결과 나열: ($A \to B, B \to A$) A 는 $\$1$ 주고 $\$1$ 받음 → A=$\$2$, B 는 $\$1$ 주고 $\$1$ 받음 → B=$\$1$, C=$\$0$ → $(2,1,0)$ 형.
($A \to B, B \to C$) A=$\$1$, B=$\$1+\$1-\$1=\$1$, C=$\$1$ → $(1,1,1)$ ✓.
($A \to C, B \to A$) A=$\$2$, B=$\$0$, C=$\$1$ → $(2,1,0)$ 형. ($A \to C, B \to C$) A=$\$1$, B=$\$0$, C=$\$2$ → $(2,1,0)$ 형.
$4$ 중 $1$ 개만 $(1,1,1)$.

$$P((2,1,0) \to (1,1,1)) = \tfrac{1}{4}$$

💡 $(2,1,0)$ 에서 $A \to B, B \to C$ 하나만 균등 복귀.

#5 패턴 찾기 7.SP.C.7 단계 4

핵심 패턴: $(1,1,1)$ 에서든 $(2,1,0)$ 형에서든 다음 단계가 $(1,1,1)$ 일 확률은 정확히 $\tfrac{1}{4}$.

$$P(\text{다음} = (1,1,1) \mid \text{현재 어떤 상태든}) = \tfrac{1}{4}$$

💡 종이 한 번 울리기 직전 어떤 상태든 직후 $(1,1,1)$ 확률 $\tfrac{1}{4}$.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.7 단계 5

더 쉬운 문제 결론: 어느 상태에서든 다음 종 후 $(1,1,1)$ 확률이 $\tfrac{1}{4}$ 이므로, 종 $1, 2, \ldots, 2019$ 번 모두 동일.
$P(\text{2019번 후} = (1,1,1)) = \tfrac{1}{4}$.

$$P(\text{2019번 후}) = \tfrac{1}{4}$$

💡 종 횟수는 함정 — 단계별 복귀 확률은 항상 $\tfrac{1}{4}$.

#3 가능성 지우기 7.SP.C.7 단계 6

정답 (B) $\tfrac{1}{4}$.

$$\boxed{\tfrac{1}{4}}$$

💡 선택지와 대조.

[1] #2 7.SP.C.8 $2019$ 를 종 $1$ 번 문제로 대체. 상태 $(1,1,1)$ 에서 결과 나열: 각자 $2$ 명 중 하나 선택 → $2^3 = 8$ 가지

[2] #2 7.SP.C.8 $8$ 개 중 $(1,1,1)$ 로 돌아오는 경우: 세 명 모두 같은 회전 방향 (전부 CW 또는 전부 CCW) 일 때만 — $2$ 개. 따라서

[3] #15 7.SP.C.8 다음 어려운 경우: $(2,1,0)$ 에서 시작. 돈 있는 사람은 둘 — $\$2$ 보유자 A, $\$1$ 보유자 B (C 는 $\$0$). 각

[4] #5 7.SP.C.7 핵심 패턴: $(1,1,1)$ 에서든 $(2,1,0)$ 형에서든 다음 단계가 $(1,1,1)$ 일 확률은 정확히 $\tfrac{1}{4}$.

[5] #9 7.SP.C.7 더 쉬운 문제 결론: 어느 상태에서든 다음 종 후 $(1,1,1)$ 확률이 $\tfrac{1}{4}$ 이므로, 종 $1, 2, \ldots, 2

[6] #3 7.SP.C.7 정답 (B) $\tfrac{1}{4}$.

검토

합리성 확인: $n = 1$ 검증: $8$ 중 $2$ 가 $(1,1,1)$ 로 복귀 → $P = \tfrac{1}{4}$ ✓. $n = 2$ 검증: $(1,1,1)$ 출발 → 확률 $\tfrac{1}{4}$ 로 $(1,1,1)$ 유지 후 또 $\tfrac{1}{4}$ 로 복귀, 확률 $\tfrac{3}{4}$ 로 $(2,1,0)$ 이동 후 $\tfrac{1}{4}$ 로 복귀. 총 $\tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{4} \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{4}$ ✓. 선택지에 $\tfrac{1}{4}$ 있고 $n$ 의존 없음 — AMC '큰 수는 함정' 스타일과 일치.

대안 접근: 도구 #11 (거꾸로 풀기) — 마르코프 정상 상태. $p_n = P(\text{단계 } n \text{ 에 } (1,1,1)) $ 라 두면, 점화식 $p_{n+1} = \tfrac{1}{4} p_n + \tfrac{1}{4}(1 - p_n) = \tfrac{1}{4}$ 이므로 $p_n = \tfrac{1}{4}$ ($n \ge 1$). 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 확률 모델 만들기 및 사건의 확률 구하기 (각 무작위 송금 선택을 균등 분포로 모형화하고 전이 확률 결합.)
7.SP.C.8 조직된 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건 확률 구하기 ($(1,1,1)$ 의 $2^3 = 8$ 결과와 $(2,1,0)$ 의 $2 \times 2 = 4$ 결과 나열.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 7학년 확률 나열만 있으면 풀려요 — $(1,1,1)$ 의 $8$ 결과와 $(2,1,0)$ 의 $4$ 결과를 보면 둘 다 다음에 $(1,1,1)$ 될 확률이 $\tfrac{1}{4}$ 이므로 $2019$ 는 의미 없음 — 답은 $\tfrac{1}{4}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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