AMC 10 · 2019 · #24

학년 8 arithmetic

recursive-sequencesequences-geometricexponentspolynomial-factoringestimation pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: recursive-sequencesequences-geometricexponents

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

Define a sequence recursively by $x_0=5$ and $x_{n+1}=\frac{x_n^2+5x_n+4}{x_n+6}$ for all nonnegative integers $n.$ Let $m$ be the least positive integer such that

$x_m\leq 4+\frac{1}{2^{20}}.$

In which of the following intervals does $m$ lie?

$\textbf{(A) } [9,26] \qquad\textbf{(B) } [27,80] \qquad\textbf{(C) } [81,242]\qquad\textbf{(D) } [243,728] \qquad\textbf{(E) } [729,\infty)$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

[9,26]

(B)

[27,80]

(C)

[81,242]

(D)

[243,728]

(E)

$[729,\infty)$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $x_0 = 5$ 이고 $x_{n+1} = \dfrac{x_n^2 + 5 x_n + 4}{x_n + 6}$ 로 정의된 수열이 있다. $x_m \le 4 + \dfrac{1}{2^{20}}$ 을 만족하는 최소 양의 정수 $m$ 이 속하는 구간은?

주어진 것: $x_0 = 5$; $x_{n+1} = \dfrac{x_n^2 + 5 x_n + 4}{x_n + 6} = \dfrac{(x_n + 1)(x_n + 4)}{x_n + 6}$; 목표: $x_m \le 4 + \dfrac{1}{2^{20}}$; 선택지 (구간): (A) $[9, 26]$, (B) $[27, 80]$, (C) $[81, 242]$, (D) $[243, 728]$, (E) $[729, \infty)$

구하는 것: $x_m \le 4 + 1/2^{20}$ 의 최소 $m$ 이 속한 구간

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #13 대수로 바꾸기, #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

도구 #13 (대수): 분자 인수분해로 고정점 $x = 4$ 노출, $y_n = x_n - 4$ 치환으로 평형을 $0$ 으로 이동. 도구 #9 (더 쉬운 문제): $y = 0$ 근방에서 점화식이 거의 선형 ($y_{n+1} \approx \tfrac{9}{10} y_n$) — 닫힌 형태 기하 수열. 도구 #5 (패턴): 공비 $9/10$ 과 선택지 폭으로 $m \approx 20 \log 2 / \log(10/9)$ 추정. 도구 #6 (추측·확인): $m \approx 130$ 을 선택지 구간에 대입. 도구 #3 (가능성 지우기): 구간이 넓어 거친 추정으로 충분.

실행 — 정답: C

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 1

분자 인수분해: $x_n^2 + 5 x_n + 4 = (x_n + 1)(x_n + 4)$.
$x_{n+1} = \dfrac{(x_n + 1)(x_n + 4)}{x_n + 6}$.
고정점 찾기: $x = 4$ 일 때 $x_{n+1} = \dfrac{5 \cdot 8}{10} = 4$.
$4$ 가 고정점.

$$x_{n+1} = \dfrac{(x_n+1)(x_n+4)}{x_n+6}; \quad x = 4 \text{ 고정}$$

💡 인수분해로 수열이 수렴할 목표값 $4$ 가 드러남.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 2

$y_n = x_n - 4$ 치환 (고정점까지의 거리).
$x_n = y_n + 4$, $x_n + 1 = y_n + 5$, $x_n + 4 = y_n + 8$, $x_n + 6 = y_n + 10$.
$y_{n+1} = x_{n+1} - 4 = \dfrac{(y_n + 5)(y_n + 8) - 4(y_n + 10)}{y_n + 10} = \dfrac{y_n^2 + 9 y_n}{y_n + 10} = \dfrac{y_n (y_n + 9)}{y_n + 10}$.

$$y_{n+1} = \dfrac{y_n (y_n + 9)}{y_n + 10}$$

💡 좌표 이동으로 평형이 $0$ — 점화식이 단순 비율 형태.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.F.B.4 단계 3

초기: $y_0 = 1$.
$y_n > 0$ 이고 감소하므로 몇 단계 후 $y_n$ 이 작아져 비 $\dfrac{y_n + 9}{y_n + 10}$ 는 $\dfrac{9}{10}$ 에 (위에서) 수렴.
작은 $y_n$ 영역에서 $y_{n+1} \approx \dfrac{9}{10} y_n$, 즉 $y_n \approx \left(\dfrac{9}{10}\right)^n$.

$$y_{n+1} \approx \tfrac{9}{10} y_n \implies y_n \approx \left(\tfrac{9}{10}\right)^n$$

💡 고정점 근방에서 점화식 = 공비 $9/10$ 기하 수열.

#5 패턴 찾기 8.EE.A.4 단계 4

$y_m \le \dfrac{1}{2^{20}}$ 필요.
$y_n \approx (9/10)^n$ 으로 $(9/10)^m = 1/2^{20}$ 풀이.
$\log_{10}$ 취함: $m \log_{10}(10/9) = 20 \log_{10} 2$.
$m = \dfrac{20 \log_{10} 2}{\log_{10}(10/9)}$.

$$m \approx \dfrac{20 \log_{10} 2}{\log_{10}(10/9)}$$

💡 기하 감쇠 방정식은 로그로 풀이.

#6 추측하고 확인하기 8.EE.A.4 단계 5

$\log_{10} 2 \approx 0.301$, $\log_{10}(10/9) = 1 - \log_{10} 9 \approx 1 - 0.954 = 0.046$.
$m \approx \dfrac{20 \cdot 0.301}{0.046} \approx \dfrac{6.02}{0.046} \approx 131$.

$$m \approx \dfrac{6.02}{0.046} \approx 131$$

💡 표준 로그값으로 수치 추정.

#3 가능성 지우기 6.NS.C.7 단계 6

선택지 확인: (A) $[9, 26]$, (B) $[27, 80]$, (C) $[81, 242]$, (D) $[243, 728]$, (E) $[729, \infty)$.
$m \approx 131$ 은 $[81, 242]$ 안에 안전히 들어감.

$$131 \in [81, 242]$$

💡 추정값이 (C) 한가운데 — 거친 추정으로 충분.

#3 가능성 지우기 6.NS.C.7 단계 7

정답 (C).

$$\boxed{[81, 242]}$$

💡 추정값이 유일하게 들어가는 구간 선택.

[1] #13 8.EE.C.7 분자 인수분해: $x_n^2 + 5 x_n + 4 = (x_n + 1)(x_n + 4)$. $x_{n+1} = \dfrac{(x_n + 1)(x

[2] #13 8.EE.C.7 $y_n = x_n - 4$ 치환 (고정점까지의 거리). $x_n = y_n + 4$, $x_n + 1 = y_n + 5$, $x_n + 4 =

[3] #9 8.F.B.4 초기: $y_0 = 1$. $y_n > 0$ 이고 감소하므로 몇 단계 후 $y_n$ 이 작아져 비 $\dfrac{y_n + 9}{y_n + 10

[4] #5 8.EE.A.4 $y_m \le \dfrac{1}{2^{20}}$ 필요. $y_n \approx (9/10)^n$ 으로 $(9/10)^m = 1/2^{20}$

[5] #6 8.EE.A.4 $\log_{10} 2 \approx 0.301$, $\log_{10}(10/9) = 1 - \log_{10} 9 \approx 1 - 0.95

[6] #3 6.NS.C.7 선택지 확인: (A) $[9, 26]$, (B) $[27, 80]$, (C) $[81, 242]$, (D) $[243, 728]$, (E) $[

[7] #3 6.NS.C.7 정답 (C).

검토

합리성 확인: 두 가지 검증. (1) 실제 비 $\dfrac{y_n + 9}{y_n + 10}$ 은 $y_0 = 1$ 일 때 $\dfrac{10}{11} \approx 0.909$ 에서 시작해 $\dfrac{9}{10} = 0.9$ 로 수렴. 즉 초반 감쇠가 $9/10$ 보다 약간 느림 — 진짜 $m$ 은 $(9/10)^m = 2^{-20}$ 추정보다 살짝 큼, 여전히 $[81, 242]$ 안. (2) 비를 $\tfrac{10}{11}$ 로 고정 시 $m \log(11/10) \ge 20 \log 2$, $m \ge 20 \cdot 0.301 / 0.0414 \approx 145$ — 여전히 (C). 구간이 넓어 어떤 합리적 추정도 (C) 에 안착.

대안 접근: 도구 #11 (거꾸로 풀기) — 더 정밀한 변형: $\tfrac{1}{y_{n+1}} - \tfrac{1}{y_n} = \tfrac{1}{y_n + 9}$ 로 정리, 이 차이를 $\tfrac{1}{10}$ 과 $\tfrac{1}{9}$ 사이로 한정 → $\tfrac{n}{10} \le \tfrac{1}{y_n} - 1 \le \tfrac{n}{9}$. 단 $y_m \le 2^{-20}$ 에 $m / 10 \gtrsim 2^{20}$ 이면 너무 큰 추정 — 부적합 (조화합이 지배하지 않음). 더 나은 대안: 도구 #6 (스프레드시트 직접 반복) 으로 $y_{131} \approx 2^{-20}$ 직접 확인, (C) 확정.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.NS.C.7 유리수 순서·절댓값 이해 (추정 $m \approx 131$ 과 선택지 구간 끝점 비교.)
8.EE.A.4 과학적 표기법 연산 ($(9/10)^m = 1/2^{20}$ 의 로그 풀이, $\log_{10} 2 \approx 0.301$, $\log_{10}(10/9) \approx 0.046$ 추정.)
8.EE.C.7 일차방정식 풀기 (점화식 인수분해 및 $y_n = x_n - 4$ 치환으로 고정점 $0$ 이동.)
8.F.B.4 선형 관계 모델링 함수 세우기 (고정점 근방에서 $y_n \approx (9/10)^n$ 기하 함수 모형.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 로그와 기하 수열만 있으면 풀려요 — $y_n = x_n - 4$ 치환으로 공비 $\tfrac{9}{10}$ 노출, $(9/10)^m \approx 1/2^{20}$ 에서 $m \approx 131$, 구간 $[81, 242]$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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