AMC 10 · 2019 · #4

학년 6 algebra

sequences-arithmeticcoordinate-geometrylinear-equations-two-varpattern-recognition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticlinear-equations-two-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

All lines with equation $ax+by=c$ such that $a,b,c$ form an arithmetic progression pass through a common point. What are the coordinates of that point?

$\textbf{(A) } (-1,2) \qquad\textbf{(B) } (0,1) \qquad\textbf{(C) } (1,-2) \qquad\textbf{(D) } (1,0) \qquad\textbf{(E) } (1,2)$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(-1,2)

(B)

(0,1)

(C)

(1,-2)

(D)

(1,0)

(E)

(1,2)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $a$, $b$, $c$가 등차수열을 이룰 때 (이웃한 두 수의 차이가 일정), 직선 $a x + b y = c$ 의 모든 형태가 한 공통점을 지난다고 합니다. 그 공통점의 좌표를 구하세요.

주어진 것: 직선의 방정식 형태: $a x + b y = c$; $a$, $b$, $c$ 가 등차수열: $b - a = c - b$ (즉 $c = 2b - a$); 어떤 등차수열 $(a, b, c)$ 를 골라도 그 직선은 같은 한 점을 지남; 선택지: (A) $(-1, 2)$, (B) $(0, 1)$, (C) $(1, -2)$, (D) $(1, 0)$, (E) $(1, 2)$

구하는 것: 공통점 $(x, y)$

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #6 추측하고 확인하기

도구 #9(더 쉬운 문제): 모든 등차수열을 다룰 필요 없이 가장 간단한 두 개만 — $(a, b, c) = (1, 2, 3)$ 과 $(1, 3, 5)$. 그러면 두 직선 $x + 2y = 3$, $x + 3y = 5$. 공통점은 답에 포함됨. 도구 #3(가능성 지우기) $+$ 도구 #6(추측하고 확인): 다섯 선택지를 두 식에 대입해 둘 다 만족하는 점만 답. 대수 필요 없음.

실행 — 정답: A

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 1

간단한 등차수열 둘을 골라 직선을 씀.
$(a, b, c) = (1, 2, 3)$: 식 $1 \cdot x + 2 \cdot y = 3$.
$(a, b, c) = (1, 3, 5)$: 식 $1 \cdot x + 3 \cdot y = 5$.
공통점은 둘 다 만족해야 함.

$$\text{직선 1: } x + 2y = 3 \quad \text{직선 2: } x + 3y = 5$$

💡 구체적인 두 등차수열은 구체적인 두 직선 — 검사하기 쉬움.

#3 가능성 지우기 6.EE.A.2 단계 2

직선 1 $x + 2y = 3$ 에 선택지를 대입.
(A) $(-1, 2)$: $-1 + 4 = 3$ ✓.
(B) $(0, 1)$: $0 + 2 = 2 \ne 3$ ✗.
(C) $(1, -2)$: $1 - 4 = -3 \ne 3$ ✗.
(D) $(1, 0)$: $1 + 0 = 1 \ne 3$ ✗.
(E) $(1, 2)$: $1 + 4 = 5 \ne 3$ ✗.
(A) 만 생존.

$$x + 2y = 3 \text{ 에서 } (-1, 2) \text{ 만 통과: } -1 + 4 = 3$$

💡 첫 식에 각 후보를 넣어 안 맞는 건 즉시 제거.

#3 가능성 지우기 6.EE.A.2 단계 3

(A) $(-1, 2)$ 가 직선 2 $x + 3y = 5$ 도 만족하는지 확인.
대입: $-1 + 3(2) = -1 + 6 = 5$ ✓.
두 직선 모두 통과 — $(-1, 2)$ 가 두 직선의 교점.

$$x + 3y = 5 \text{ 에서: } (-1) + 3(2) = -1 + 6 = 5\ \checkmark$$

💡 생존한 점을 두 번째 식으로 한 번 더 확인.

#6 추측하고 확인하기 5.G.A.1 단계 4

$(-1, 2)$ 가 우리가 고른 두 등차수열뿐 아니라 모든 등차수열에서 통하는지 추가 확인.
$(a, b, c) = (2, 5, 8)$ (공차 $3$): $2(-1) + 5(2) = -2 + 10 = 8 = c$ ✓.
$(a, b, c) = (3, 2, 1)$ (공차 $-1$): $3(-1) + 2(2) = -3 + 4 = 1 = c$ ✓.
패턴 유지 — 공통점은 $(-1, 2)$.

$$(-1, 2):\ 2(-1) + 5(2) = 8\ \checkmark;\ 3(-1) + 2(2) = 1\ \checkmark \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 여러 등차수열에서 모두 통하면 정말 보편 공통점.

[1] #9 4.OA.C.5 간단한 등차수열 둘을 골라 직선을 씀. $(a, b, c) = (1, 2, 3)$: 식 $1 \cdot x + 2 \cdot y = 3$. $(

[2] #3 6.EE.A.2 직선 1 $x + 2y = 3$ 에 선택지를 대입. (A) $(-1, 2)$: $-1 + 4 = 3$ ✓. (B) $(0, 1)$: $0 + 2

[3] #3 6.EE.A.2 (A) $(-1, 2)$ 가 직선 2 $x + 3y = 5$ 도 만족하는지 확인. 대입: $-1 + 3(2) = -1 + 6 = 5$ ✓. 두

[4] #6 5.G.A.1 $(-1, 2)$ 가 우리가 고른 두 등차수열뿐 아니라 모든 등차수열에서 통하는지 추가 확인. $(a, b, c) = (2, 5, 8)$ (공차

검토

합리성 확인: 확인: 등차수열에서 $c = 2b - a$. $(x, y) = (-1, 2)$ 를 $a x + b y$ 에 대입: $a(-1) + b(2) = -a + 2b = 2b - a = c$ ✓. 따라서 어떤 등차수열 $(a, b, c)$ 에 대해서도 직선 $ax + by = c$ 는 $(-1, 2)$ 를 지남. 우리가 고른 예뿐 아니라 보편적으로 성립.

대안 접근: 도구 #13(대수): 등차수열 조건 $c = 2b - a$ 를 $ax + by = c$ 에 대입 — $ax + by = 2b - a$, 정리하면 $a(x + 1) + b(y - 2) = 0$. 모든 $a$, $b$ 에 대해 성립하려면 두 계수가 모두 $0$ — 즉 $x + 1 = 0$, $y - 2 = 0$, 따라서 $(x, y) = (-1, 2)$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.C.5 규칙을 따르는 수·도형 패턴 생성 (등차수열을 인식하고 $(1, 2, 3)$, $(1, 3, 5)$ 같은 단순한 등차수열 선택.)
5.G.A.1 좌표평면의 도입 — 두 수직 수직선으로 좌표계 (각 선택지를 좌표 $(x, y)$ 로 읽어 식에 대입할 준비.)
6.EE.A.2 문자가 들어간 식 읽고·쓰고·계산하기 ($ax + by$ 를 구체적인 $(a, b)$ 와 후보 $(x, y)$ 로 계산 — 예: $-1 + 2(2) = 3$.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 식 계산만 알면 풀 수 있어요 — 간단한 등차수열 $(1, 2, 3)$, $(1, 3, 5)$ 두 개를 골라 선택지의 점을 두 식에 대입하면 $(-1, 2)$ 만 살아남아요. 답은 (A)!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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