AMC 10 · 2019 · #5

학년 8 geometry-2d

reflection-symmetrycoordinate-geometryslope-intercepttransformations-composition caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: coordinate-geometryslope-intercept

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Triangle $ABC$ lies in the first quadrant. Points $A$ , $B$ , and $C$ are reflected across the line $y=x$ to points $A'$ , $B'$ , and $C'$ , respectively. Assume that none of the vertices of the triangle lie on the line $y=x$ . Which of the following statements is not always true?

$\textbf{(A) }$ Triangle $A'B'C'$ lies in the first quadrant.

$\textbf{(B) }$ Triangles $ABC$ and $A'B'C'$ have the same area.

$\textbf{(C) }$ The slope of line $AA'$ is $-1$ .

$\textbf{(D) }$ The slopes of lines $AA'$ and $CC'$ are the same.

$\textbf{(E) }$ Lines $AB$ and $A'B'$ are perpendicular to each other.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Triangle $A'B'C'$ lies in the first quadrant.

(B)

Triangles $ABC$ and $A'B'C'$ have the same area.

(C)

The slope of line $AA'$ is $-1$.

(D)

The slopes of lines $AA'$ and $CC'$ are the same.

(E)

Lines $AB$ and $A'B'$ are perpendicular to each other.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 삼각형 $ABC$ 가 제1사분면에 있습니다. 각 꼭짓점을 직선 $y = x$ 에 대해 대칭시켜 $A'$, $B'$, $C'$ 를 얻습니다. 어떤 꼭짓점도 $y = x$ 위에 있지는 않습니다. 다섯 가지 진술 중 항상 참이라고 할 수 없는 것을 고르세요.

주어진 것: $y = x$ 에 대한 대칭 규칙: 점 $(p, q)$ 는 $(q, p)$ 로 옮겨감; 꼭짓점 $A$, $B$, $C$ 가 모두 제1사분면에 있음; 어떤 꼭짓점도 $y = x$ 위에 있지 않음, 즉 각 꼭짓점에서 $p \ne q$; 선택지: (A) $A'B'C'$ 가 제1사분면, (B) 두 삼각형의 넓이 같음, (C) $AA'$ 의 기울기 $= -1$, (D) $AA'$ 와 $CC'$ 의 기울기 같음, (E) $AB \perp A'B'$

구하는 것: 항상 참이라고 할 수 없는 진술

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #1 그림 그리기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #1(그림): $y = x$ 와 예시 삼각형, 그리고 대칭상을 스케치 — (A), (B) 가 한눈에 보임. 도구 #3(가능성 지우기): 다섯 진술을 차례로 점검해 일반적으로 성립하는 건 지움. 도구 #9(더 쉬운 문제): (C), (D) 는 일반 꼭짓점 $(p, q)$ 를 문자로 두고 기울기 공식 직접 계산, (E) 는 간단한 구체 삼각형을 골라 $AB \perp A'B'$ 인지 확인 — 반례 하나면 충분.

실행 — 정답: E

#3 가능성 지우기 8.G.A.3 단계 1

(A) 점검.
제1사분면의 점 $(p, q)$ 는 $p > 0$ 이고 $q > 0$.
대칭상 $(q, p)$ 도 두 좌표 모두 양수이므로 제1사분면에 머묾.
세 대칭상 모두 제1사분면 — $A'B'C'$ 가 제1사분면에 있음.
(A) 는 항상 참 — 제거.

$$(p, q),\ p, q > 0 \;\Rightarrow\; (q, p),\ q, p > 0\;\checkmark$$

💡 두 양수를 바꿔도 여전히 양수.

#3 가능성 지우기 8.G.A.1 단계 2

(B) 점검.
대칭은 강체 운동(rigid motion) 이라 모든 거리를 보존 — 따라서 대칭상은 원래 삼각형과 합동, 변 길이도 같고 넓이도 같음.
(B) 는 항상 참 — 제거.

$$\text{대칭} \Rightarrow \text{합동} \Rightarrow \text{넓이 같음}$$

💡 거울에 비친 모양은 크기 그대로 — 늘어나지 않음.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.EE.B.6 단계 3

(C) 점검.
$A = (p, q)$ ($p \ne q$) 로 두면 $A' = (q, p)$.
$AA'$ 의 기울기는 $\dfrac{p - q}{q - p} = \dfrac{-(q - p)}{q - p} = -1$.
(C) 는 항상 참 — 제거.

$$\text{slope}(AA') = \dfrac{p - q}{q - p} = -1\;\checkmark$$

💡 $AA'$ 는 대칭축 $y = x$ 와 수직 — 즉 기울기 $1$ 의 역수의 음수인 $-1$.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.EE.B.6 단계 4

(D) 점검.
같은 계산으로 $CC'$ 의 기울기도 $-1$.
두 기울기가 모두 $-1$ 로 같음.
(D) 는 항상 참 — 제거.

$$\text{slope}(CC') = -1 = \text{slope}(AA')\;\checkmark$$

💡 '점 $\to$ 대칭상' 선분들은 모두 거울축과 수직 — 기울기 $-1$ 로 같음.

#3 가능성 지우기 8.F.A.3 단계 5

(E) 를 구체적인 삼각형으로 점검.
$A = (1, 2)$, $B = (3, 4)$ 로 두면 $A' = (2, 1)$, $B' = (4, 3)$.
$AB$ 의 기울기 $= \dfrac{4 - 2}{3 - 1} = 1$.
$A'B'$ 의 기울기 $= \dfrac{3 - 1}{4 - 2} = 1$.
두 기울기가 모두 $1$ 로 같음 — 즉 $AB \parallel A'B'$ 이지 수직이 아님.
(E) 는 깨짐 — 항상 참이 아님.

$$A = (1, 2), B = (3, 4):\ \text{slope}(AB) = 1,\ \text{slope}(A'B') = 1 \Rightarrow \text{평행, 수직 아님} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 반례 하나만 있어도 '항상 참' 은 깨짐.

[1] #3 8.G.A.3 (A) 점검. 제1사분면의 점 $(p, q)$ 는 $p > 0$ 이고 $q > 0$. 대칭상 $(q, p)$ 도 두 좌표 모두 양수이므로 제1사

[2] #3 8.G.A.1 (B) 점검. 대칭은 강체 운동(rigid motion) 이라 모든 거리를 보존 — 따라서 대칭상은 원래 삼각형과 합동, 변 길이도 같고 넓이도

[3] #9 8.EE.B.6 (C) 점검. $A = (p, q)$ ($p \ne q$) 로 두면 $A' = (q, p)$. $AA'$ 의 기울기는 $\dfrac{p - q}

[4] #9 8.EE.B.6 (D) 점검. 같은 계산으로 $CC'$ 의 기울기도 $-1$. 두 기울기가 모두 $-1$ 로 같음. (D) 는 항상 참 — 제거.

[5] #3 8.F.A.3 (E) 를 구체적인 삼각형으로 점검. $A = (1, 2)$, $B = (3, 4)$ 로 두면 $A' = (2, 1)$, $B' = (4, 3)

검토

합리성 확인: (E) 일반 증명. $A = (p_1, q_1)$, $B = (p_2, q_2)$ 라 두면 $AB$ 의 기울기 $m = \dfrac{q_2 - q_1}{p_2 - p_1}$. $(q_1, p_1)$ 과 $(q_2, p_2)$ 사이의 $A'B'$ 기울기는 $\dfrac{p_2 - p_1}{q_2 - q_1} = \dfrac{1}{m}$. 두 기울기의 곱 $= m \cdot \dfrac{1}{m} = 1$, $-1$ 이 아님. 따라서 $AB$ 와 $A'B'$ 는 절대 수직이 아님(수직은 곱이 $-1$). 구체 반례와 일반 분석이 모두 일치 — (E) 가 답.

대안 접근: 도구 #1(그림): $y = x$ 를 거울로 그리고, 임의의 삼각형과 대칭상을 그림. 시각적으로 각 꼭짓점-대칭상 선분이 모두 거울에 수직(서로 평행, 기울기 $-1$), 대칭상의 변은 원본의 거울상이라 일반적으로 원본과 수직이 아님 — (A), (B), (C), (D) 확인, (E) 가 깨짐.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.1 회전·대칭·평행이동의 성질을 실험적으로 확인 (대칭이 거리를 보존하므로 넓이도 같음을 인식 (진술 B).)
8.G.A.3 확대·평행이동·회전·대칭이 좌표에 미치는 영향 기술 ($y = x$ 에 대한 대칭 규칙 $(p, q) \to (q, p)$ 적용 — 진술 A, C, D, E 모두 필요.)
8.EE.B.6 닮은 삼각형으로 두 점 사이의 기울기가 일정함을 설명 ($AA'$, $CC'$ 의 기울기를 $\dfrac{p - q}{q - p} = -1$ 로 계산 (진술 C, D).)
8.F.A.3 $y = mx + b$ 를 일차함수의 정의로 해석 ($AB$ 와 $A'B'$ 의 기울기를 비교해 수직 여부(음의 역수) 판단 — 진술 E.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 대칭과 기울기 규칙만 알면 풀 수 있어요 — $y = x$ 대칭에서 좌표가 서로 바뀌어서 (A), (B), (C), (D) 는 모두 성립하지만, $AB$ 와 $A'B'$ 의 기울기 곱은 $+1$ ($-1$ 이 아님) 이라 수직이 항상 성립하지는 않아요. 답은 (E)!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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