AMC 10 · 2019 · #6

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition

factorialpolynomial-factoringfactorsdigit-sum pattern-recognitionguess-and-check ↑ 선수 지식: factorialpolynomial-factoring

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

There is a positive integer $n$ such that $(n+1)! + (n+2)! = n! \cdot 440$ . What is the sum of the digits of $n$ ?

$\textbf{(A) }3\qquad\textbf{(B) }8\qquad\textbf{(C) }10\qquad\textbf{(D) }11\qquad\textbf{(E) }12$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $(n+1)! + (n+2)! = n! \cdot 440$ 을 만족하는 양의 정수 $n$ 을 찾고, 그 $n$ 의 자리수의 합을 구함.

주어진 것: $(n+1)! + (n+2)! = n! \cdot 440$; $n$ 은 양의 정수; 선택지: (A) $3$, (B) $8$, (C) $10$, (D) $11$, (E) $12$

구하는 것: $n$ 의 값; $n$ 의 자리수의 합

이해

문제 재정리: $(n+1)! + (n+2)! = n! \cdot 440$ 을 만족하는 양의 정수 $n$ 을 찾고, 그 $n$ 의 자리수의 합을 구함.

주어진 것: $(n+1)! + (n+2)! = n! \cdot 440$; $n$ 은 양의 정수; 선택지: (A) $3$, (B) $8$, (C) $10$, (D) $11$, (E) $12$

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

팩토리얼이 무서워 보여도 세 항 모두 $n!$ 을 공통으로 품고 있음. $n!$ 을 통째로 빼내면 (도구 #9 로 식 단순화) 모양이 드러나고 (도구 #5: 두 정수의 곱), 적당한 값을 시도해 (도구 #6) 답안 자리수 합으로 확인 (도구 #3).

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.OA.A.2 단계 1

$(n+1)! = (n+1)\cdot n!$, $(n+2)! = (n+2)(n+1)\cdot n!$ 이므로 두 항 모두 $n!$ 이 공통 인수.
묶어냄.

$$(n+1)!+(n+2)! = n!\bigl[(n+1)+(n+2)(n+1)\bigr]$$

💡 공통 $n!$ 을 빼내면 팩토리얼 문제가 작은 대수 문제로 바뀜.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.EE.A.3 단계 2

양변을 $n!$ 으로 나눔 — 깔끔히 약분.
남은 식은 두 인수의 곱.

$$(n+1) + (n+2)(n+1) = 440 \;\Rightarrow\; (n+1)\bigl[1+(n+2)\bigr] = 440 \;\Rightarrow\; (n+1)(n+3) = 440$$

💡 $2$ 차이 나는 두 자연수의 곱이 $440$ — 훨씬 다루기 쉬움.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.B.4 단계 3

$440$ 을 두 정수의 곱으로 쓰되 두 수가 $2$ 차이.
$\sqrt{440}\approx 21$ 근처에서 추측.
짝 $(20, 22)$ 시도.

$$20 \times 22 = 440 \;\checkmark$$

💡 $\sqrt{440}\approx 21$ 이라 두 인수는 $21$ 근처 — $20, 22$ 가 후보.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.7 단계 4

이 짝을 식과 맞춤.
$n+1 = 20$ 에서 $n = 19$, $n+3 = 22$ 에서도 $n = 19$.
일치.

$$n + 1 = 20 \;\Rightarrow\; n = 19$$

💡 두 식이 모두 같은 $n$ 을 가리키므로 $n=19$ 가 정답.

#3 가능성 지우기 2.NBT.A.1 단계 5

$n = 19$ 의 자리수 합을 구함.
$1 + 9 = 10$.
선택지와 대조하면 (C).

$$1 + 9 = 10 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 두 자리 수의 자리수 합은 십의 자리와 일의 자리를 더한 것.

[1] #9 5.OA.A.2 $(n+1)! = (n+1)\cdot n!$, $(n+2)! = (n+2)(n+1)\cdot n!$ 이므로 두 항 모두 $n!$ 이 공통 인수.

[2] #9 6.EE.A.3 양변을 $n!$ 으로 나눔 — 깔끔히 약분. 남은 식은 두 인수의 곱.

[3] #6 4.OA.B.4 $440$ 을 두 정수의 곱으로 쓰되 두 수가 $2$ 차이. $\sqrt{440}\approx 21$ 근처에서 추측. 짝 $(20, 22)$ 시

[4] #6 6.EE.B.7 이 짝을 식과 맞춤. $n+1 = 20$ 에서 $n = 19$, $n+3 = 22$ 에서도 $n = 19$. 일치.

[5] #3 2.NBT.A.1 $n = 19$ 의 자리수 합을 구함. $1 + 9 = 10$. 선택지와 대조하면 (C).

검토

합리성 확인: 검산: $(19+1)!+(19+2)! = 20! + 21! = 20!\cdot(1+21) = 20!\cdot 22$, $19!\cdot 440 = 19!\cdot 20\cdot 22 = 20!\cdot 22$. 양변 일치. $n=19$ 확정, 자리수 합 $10$ 은 (C).

대안 접근: 도구 #13 (대수): $(n+1)(n+3)=440$ 을 전개해 $n^2+4n+3 = 440$, 곧 $n^2+4n-437 = 0$. 근의 공식으로 $n = \frac{-4+\sqrt{16+1748}}{2} = \frac{-4+42}{2} = 19$. 같은 답이지만 손이 더 감.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.OA.A.2 수 계산을 기록하는 간단한 식 쓰기 ($(n+1)!$ 과 $(n+2)!$ 를 $n!$ 의 곱 꼴로 다시 써서 공통 인수가 드러나게 함.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 이용해 동치 식 만들기 ($(n+1)+(n+2)(n+1)$ 에서 $(n+1)$ 을 빼내 식을 $(n+1)(n+3)=440$ 으로 바꿈.)
4.OA.B.4 곱의 짝 찾기와 배수 인식, 소수·합성수 판별 ($440$ 을 차이 $2$ 인 두 자연수의 곱으로 표현.)
6.EE.B.7 $px = q$ 꼴의 식을 세우고 풀기 ($n+1=20$ 에서 $n=19$ 를 구함.)
2.NBT.A.1 세 자리 수의 자릿값 이해 (백·십·일) ($19$ 를 십의 자리·일의 자리로 읽어 자리수 합을 계산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 인수분해만 알면 풀 수 있어요 — 두 항에서 $n!$ 을 빼내면 $(n+1)(n+3)=440$, $20\times 22$ 가 보이니 $n=19$, 자리수 합은 $10$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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