AMC 10 · 2019 · #7

학년 6 arithmetic

lcmprime-factorizationdivisibility-rulesmultiples identify-subproblems ↑ 선수 지식: lcmprime-factorization

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Each piece of candy in a store costs a whole number of cents. Casper has exactly enough money to buy either $12$ pieces of red candy, $14$ pieces of green candy, $15$ pieces of blue candy, or $n$ pieces of purple candy. A piece of purple candy costs $20$ cents. What is the smallest possible value of $n$ ?

$\textbf{(A) } 18 \qquad \textbf{(B) } 21 \qquad \textbf{(C) } 24\qquad \textbf{(D) } 25 \qquad \textbf{(E) } 28$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Casper 의 지갑에 든 동전이 빨강 사탕 $12$ 개, 초록 $14$ 개, 파랑 $15$ 개, 또는 보라 $n$ 개를 정확히 살 수 있는 액수. 모든 사탕 가격은 자연수 센트, 보라 가격은 $20$ 센트. 최소 $n$ 을 구함.

주어진 것: 각 사탕 가격은 자연수 센트; 총액 $= 12 \times (\text{빨강 가격}) = 14 \times (\text{초록 가격}) = 15 \times (\text{파랑 가격}) = n \times 20$; 선택지: (A) $18$, (B) $21$, (C) $24$, (D) $25$, (E) $28$

구하는 것: 최소 양의 정수 $n$

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기, #8 단위 살펴보기

사탕 이야기 뒤에 숨은 진짜 질문은 "네 수 모두로 나누어지는 가장 작은 센트 액수" — 곧 $12, 14, 15, 20$ 의 최소공배수 (도구 #9 로 단순화). 도구 #6/#3 으로 각 선택지를 $20n$ 에 대입해 $12, 14, 15$ 로 나누어지는지 역검산. 도구 #8 로 센트와 개수 단위를 헷갈리지 않게 함.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.NS.B.4 단계 1

번역: Casper 의 총액 (센트) 은 $12, 14, 15$ 의 배수이고, 보라가 $20$ 센트라 $20$ 의 배수이기도 함.
가능한 최소 액수는 $\operatorname{lcm}(12, 14, 15, 20)$.

$$\text{총액} = \operatorname{lcm}(12, 14, 15, 20)$$

💡 "정확히 $k$ 개를 살 수 있다" 는 곧 총액이 $k$ 의 배수라는 뜻.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.NS.B.4 단계 2

소인수분해: $12 = 2^2 \cdot 3$, $14 = 2 \cdot 7$, $15 = 3 \cdot 5$, $20 = 2^2 \cdot 5$.
각 소수의 최대 지수를 모음.

$$2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$$

💡 최소공배수는 등장하는 소수의 가장 센 지수를 챙긴 곱.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NBT.B.5 단계 3

곱하기: $4 \cdot 3 = 12$, $12 \cdot 5 = 60$, $60 \cdot 7 = 420$.
그래서 Casper 는 $420$ 센트.

$$\operatorname{lcm} = 420 \text{ 센트}$$

💡 $420$ 센트 $= \$4.20$ — 주머니에 들어 있을 법한 액수.

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.6 단계 4

보라가 한 개 $20$ 센트이므로 $n = 420 \div 20$.
단위 추적: $\frac{\text{센트}}{\text{개당 센트}} = \text{개수}$.

$$n = \frac{420}{20} = 21$$

💡 총 센트를 개당 가격으로 나누면 개수가 나옴.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 5

선택지로 역검산.
$n = 21$ 은 (B).
더 작은 후보 $n=18$ 도 확인: 총액 $= 360$ 센트가 필요한데 $360$ 은 $14$ 로 나누어 떨어지지 않음.
그래서 $18$ 은 실패 — $21$ 이 진짜 최소.

$$n=21 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 작은 후보가 나눗셈에서 떨어지지 않으면 그 다음 답으로 넘어감.

[1] #9 6.NS.B.4 번역: Casper 의 총액 (센트) 은 $12, 14, 15$ 의 배수이고, 보라가 $20$ 센트라 $20$ 의 배수이기도 함. 가능한 최소

[2] #9 6.NS.B.4 소인수분해: $12 = 2^2 \cdot 3$, $14 = 2 \cdot 7$, $15 = 3 \cdot 5$, $20 = 2^2 \cdot 5

[3] #9 5.NBT.B.5 곱하기: $4 \cdot 3 = 12$, $12 \cdot 5 = 60$, $60 \cdot 7 = 420$. 그래서 Casper 는 $420$

[4] #8 5.NBT.B.6 보라가 한 개 $20$ 센트이므로 $n = 420 \div 20$. 단위 추적: $\frac{\text{센트}}{\text{개당 센트}} = \

[5] #3 4.OA.B.4 선택지로 역검산. $n = 21$ 은 (B). 더 작은 후보 $n=18$ 도 확인: 총액 $= 360$ 센트가 필요한데 $360$ 은 $14$

검토

합리성 확인: $420$ 센트 검산: 빨강 $420/12 = 35\text{¢}$, 초록 $420/14 = 30\text{¢}$, 파랑 $420/15 = 28\text{¢}$, 보라 $420/20 = 21$ 개. 모두 자연수, 한 개당 1달러 미만 — 자연스러움. $n=21$, 답 (B).

대안 접근: 도구 #6 (선택지 대입): 각 $n \in \{18, 21, 24, 25, 28\}$ 에 대해 $20n$ 이 $12, 14, 15$ 로 나누어지는지 확인. $20\cdot 18 = 360$ 은 $14$ 로 안 떨어짐. $20\cdot 21 = 420$ 은 모두 떨어짐 ($420/12=35, 420/14=30, 420/15=28$). 끝.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($\operatorname{lcm}(12, 14, 15, 20)$ 을 인식하고 소인수분해로 계산.)
5.NBT.B.5 여러 자리 수의 곱셈에 능숙하기 ($4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ 을 곱해 LCM $= 420$ 센트를 얻음.)
5.NBT.B.6 네 자리 이하 피제수와 두 자리 이하 제수의 정수 몫 구하기 ($420 \div 20 = 21$ 을 계산해 사탕 개수를 얻음.)
4.OA.B.4 곱의 짝, 배수, 소수·합성수 판별 (각 후보 액수가 $12, 14, 15$ 로 나누어 떨어지는지 검산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 최소공배수만 알면 풀 수 있어요 — Casper 의 센트가 $12, 14, 15, 20$ 모두로 정확히 나뉘어야 하니 $\operatorname{lcm}(12,14,15,20) = 420$ 센트, $n = 420/20 = 21$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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