AMC 10 · 2020 · #10
학년 8 geometry-3d문제
Seven cubes, whose volumes are , , , , , , and cubic units, are stacked vertically to form a tower in which the volumes of the cubes decrease from bottom to top. Except for the bottom cube, the bottom face of each cube lies completely on top of the cube below it. What is the total surface area of the tower (including the bottom) in square units?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 부피가 $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343$ 세제곱 단위인 정육면체 일곱 개를 가장 큰 것이 맨 아래, 가장 작은 것이 맨 위가 되도록 수직으로 쌓는다. 각 위 정육면체는 아래 정육면체 위에 밑면이 완전히 놓인다. 탑 전체의 겉넓이를 (바닥면 포함) 구하시오.
주어진 것: 일곱 개 정육면체의 부피: $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343$ 세제곱 단위; 한 변의 길이 (세제곱근): $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ — 모두 $1\sim 7$ 의 세제곱; 수직으로 쌓음: 맨 아래는 변 $7$, 맨 위는 변 $1$; 각 위 정육면체의 밑면은 그 아래 정육면체 위에 완전히 놓임; 겉넓이는 바닥면 (땅에 닿는 면) 포함; 선택지: (A) $644$, (B) $658$, (C) $664$, (D) $720$, (E) $749$
구하는 것: 총 노출 겉넓이 (제곱 단위)
이해
문제 재정리: 부피가 $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343$ 세제곱 단위인 정육면체 일곱 개를 가장 큰 것이 맨 아래, 가장 작은 것이 맨 위가 되도록 수직으로 쌓는다. 각 위 정육면체는 아래 정육면체 위에 밑면이 완전히 놓인다. 탑 전체의 겉넓이를 (바닥면 포함) 구하시오.
주어진 것: 일곱 개 정육면체의 부피: $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343$ 세제곱 단위; 한 변의 길이 (세제곱근): $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ — 모두 $1\sim 7$ 의 세제곱; 수직으로 쌓음: 맨 아래는 변 $7$, 맨 위는 변 $1$; 각 위 정육면체의 밑면은 그 아래 정육면체 위에 완전히 놓임; 겉넓이는 바닥면 (땅에 닿는 면) 포함; 선택지: (A) $644$, (B) $658$, (C) $664$, (D) $720$, (E) $749$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #17 공간 상상하기, #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기
탑의 표면은 세 조각으로 자연스레 분해됨: (a) 모든 정육면체의 옆면 네 개씩, (b) 위에서 내려다봤을 때 보이는 윗면, (c) 맨 아래 바닥면 한 개. 도구 #7 로 세 부분 문제 분리. 도구 #17 (공간 상상하기) 가 (b) 의 핵심 통찰 — 위에서 정확히 내려다보면 보이는 윗면은 가장 큰 정육면체의 윗면 $7 \times 7$ 과 같음 (작은 정육면체들이 아래 정육면체의 일부만 가리고 나머지는 그대로 보임). 도구 #5 (패턴) 로 옆넓이 합 $4(1^2 + \cdots + 7^2) = 560$ 정리. 도구 #3 으로 보기와 매칭.
실행 — 정답: B
8.EE.A.2 단계 1 - 각 정육면체의 한 변의 길이 구하기.
- 부피 $V = s^3 \Rightarrow s = \sqrt[3]{V}$.
- 일곱 부피 $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343$ 은 모두 $1^3 \sim 7^3$ 이므로 한 변은 $1, 2, \ldots, 7$.
💡 완전 세제곱수의 세제곱근은 정수 — 부피만 보고 $s_k = k$.
6.G.A.4 단계 2 - 옆넓이 총합 계산.
- 한 변이 $s$ 인 정육면체의 옆넓이는 $4s^2$ (네 옆면 $\times s^2$).
- 일곱 정육면체의 옆넓이를 모두 더함.
💡 정육면체 옆넓이 $4s^2$, 제곱합 $1^2 + \cdots + 7^2 = 140$.
6.G.A.4 단계 3 - 노출된 윗면 총넓이.
- 탑을 바로 위에서 내려다보면 가장 큰 정육면체의 윗면 ($7 \times 7 = 49$) 모양 그대로 보임 — 작은 정육면체가 아래 정육면체의 일부만 가리고 나머지는 노출.
- 망원합 (telescoping): 정육면체 $k$ 의 노출 윗면은 $k^2 - (k-1)^2$, 모두 더하면 $7^2 = 49$.
💡 탑을 위에서 보면 $7 \times 7$ 실루엣 — 구멍 없음.
3.MD.C.7 단계 4 바닥면은 가장 큰 정육면체의 밑면 그 자체.
💡 맨 아래 정육면체만 바닥에 닿음.
4.MD.A.3 단계 5 세 부분 합 $=$ 총 겉넓이.
💡 서로 겹치지 않는 세 영역 — 넓이를 그대로 더하면 됨.
4.NBT.A.2 단계 6 $658$ 은 (B).
💡 일치하는 보기 찾기.
8.EE.A.2 각 정육면체의 한 변의 길이 구하기. 부피 $V = s^3 \Rightarrow s = \sqrt[3]{V}$. 일곱 부피 $1, 8, 27, 6.G.A.4 옆넓이 총합 계산. 한 변이 $s$ 인 정육면체의 옆넓이는 $4s^2$ (네 옆면 $\times s^2$). 일곱 정육면체의 옆넓이를 모두 더함 6.G.A.4 노출된 윗면 총넓이. 탑을 바로 위에서 내려다보면 가장 큰 정육면체의 윗면 ($7 \times 7 = 49$) 모양 그대로 보임 — 작은 정육면 3.MD.C.7 바닥면은 가장 큰 정육면체의 밑면 그 자체. 4.MD.A.3 세 부분 합 $=$ 총 겉넓이. 4.NBT.A.2 $658$ 은 (B). 검토
합리성 확인: 윗면 묘기에 대한 빠른 확인. 만약 각 정육면체의 윗면 전체를 따로따로 다 세었다면 $1^2 + 2^2 + \cdots + 7^2 = 140$ 을 더해 $560 + 140 + 49 = 749$, 정확히 보기 (E) — 전형적인 함정. 하지만 위 정육면체가 아래 정육면체의 일부를 가리므로 노출 윗면은 실루엣 $7 \times 7 = 49$. $560 + 49 + 49 = 658$ 은 $644$ (바닥 누락) 과 $664$ (바닥 중복) 사이에 깔끔히 들어가 (B) 가 맞음.
대안 접근: 도구 #10 (직접 만져보기): 일곱 개의 상자를 큰 순으로 쌓고 종이로 바깥을 감싸 세 영역을 직접 느껴봄 — 옆면 띠 ($4 \cdot 1 + 4 \cdot 4 + \cdots + 4 \cdot 49$), 윗면 실루엣 정사각형, 바닥 정사각형. 감싼 종이의 넓이를 읽으면 $560 + 49 + 49 = 658$.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.EE.A.2제곱근·세제곱근 기호로 해 표현 (각 정육면체의 부피에서 한 변 길이 복원: $s = \sqrt[3]{V}$.)6.G.A.4전개도로 입체를 표현하고 겉넓이 구하기 (일곱 정육면체의 $4s^2$ 합과 위에서 본 $7 \times 7$ 실루엣 인식.)3.MD.C.7넓이를 곱셈·덧셈과 관련짓기 (각 면 넓이를 $s^2$ 으로 계산.)4.MD.A.3실생활 문제에 직사각형 넓이·둘레 공식 적용 (옆넓이·윗면·바닥면 세 부분합을 더해 총 겉넓이 산출.)4.NBT.A.2여러 자리 자연수를 읽고 쓰고 비교하기 (계산값 $658$ 을 (B) 와 매칭.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 세제곱근과 6학년 겉넓이 개념만 알면 풀 수 있어요 — 한 변 길이 $1\sim 7$, 옆면 띠 합 $4 \cdot 140 = 560$, 위에서 본 실루엣 $7 \times 7 = 49$, 그래서 총 겉넓이 $= 560 + 49 + 49 = 658$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 세제곱근과 6학년 겉넓이 개념만 알면 풀 수 있어요 — 한 변 길이 $1\sim 7$, 옆면 띠 합 $4 \cdot 140 = 560$, 위에서 본 실루엣 $7 \times 7 = 49$, 그래서 총 겉넓이 $= 560 + 49 + 49 = 658$.
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