AMC 10 · 2020 · #11

학년 6 arithmetic

mean-median-mode-rangeperfect-squaressystematic-enumerationfloor-function easier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangeperfect-squares

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

What is the median of the following list of $4040$ numbers $?$
$1, 2, 3, \ldots, 2020, 1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 2020^2$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1974.5

(B)

1975.5

(C)

1976.5

(D)

1977.5

(E)

1978.5

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $4040$ 개 수의 리스트 $\{1, 2, 3, \ldots, 2020,\; 1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 2020^2\}$ 을 작은 수부터 정렬한 뒤, 중앙값($2020$ 번째와 $2021$ 번째 값의 평균)을 구하세요.

주어진 것: 앞쪽 $2020$ 개는 정수 $1, 2, \ldots, 2020$; 뒤쪽 $2020$ 개는 제곱수 $1^2, 2^2, \ldots, 2020^2$; 총 $4040$ 개이므로 중앙값은 $2020$ 번째와 $2021$ 번째 값의 평균; 선택지: $1974.5,\; 1975.5,\; 1976.5,\; 1977.5,\; 1978.5$

구하는 것: 정렬된 리스트의 중앙값

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

리스트가 너무 크니까(원소 $4040$ 개) 도구 #9(쉬운 문제): $N=2020$ 대신 $N=4$ 로 같은 구조를 먼저 풀고 규칙을 본다. 작은 케이스에서, 각 정수 $k$ 보다 작거나 같은 제곱수 $1^2, 2^2, \ldots$ 들이 작은 정수 사이에 끼어 들어가 중앙값을 "아래로" 밀어 내는 모습이 보임. 도구 #2(빠짐없이 나열): 중앙 근처 각 후보 $k$ 에 대해 리스트에서 $k$ 이하인 항목을 정확히 세기. 도구 #5(패턴): $k$ 의 순위 $= k + (k \text{ 이하인 제곱수의 개수})$. 도구 #3(가능성 지우기): 최종 중앙값을 다섯 선택지와 매칭.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.SP.A.3 단계 1

작은 경우부터 손으로: $N=4$.
리스트는 $\{1, 2, 3, 4, 1, 4, 9, 16\}$, 정렬하면 $1, 1, 2, 3, 4, 4, 9, 16$.
$4$ 번째와 $5$ 번째는 $3$ 과 $4$, 중앙값은 $3.5$.
큰 제곱수가 아니라 작은 정수 영역에 중앙값이 위치한다는 점이 핵심.

$$\text{정렬: } 1, 1, 2, 3, \mathbf{3}, \mathbf{4}, 4, 9, 16 \;\;\Rightarrow\;\; \text{중앙값} = 3.5$$

💡 6학년 중앙값: 손으로 정렬 가능한 작은 리스트로 줄여서 감 잡기.

#2 빠짐없이 나열하기 5.NBT.B.5 단계 2

작은 케이스에서 본 규칙을 일반화.
정렬된 리스트에서 값 $k$ 의 순위는 "$k$ 이하인 항목의 수".
정수 쪽에서 $k$ 개, 제곱수 쪽에서 $1^2, 2^2, \ldots$ 중 $k$ 이하인 것의 개수를 더하면 됨.
원래 문제($N=2020$)에서 $2020$ 이하인 제곱수는 정확히 $1^2, 2^2, \ldots, 44^2$ ($44^2 = 1936 \le 2020 < 2025 = 45^2$ 이므로).

$$44 \times 44 = 1936 \le 2020 < 2025 = 45 \times 45$$

💡 5학년 여러 자리 곱셈: $44 \times 44$ 와 $45 \times 45$ 로 $2020$ 이하 제곱수 범위를 고정.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

세는 규칙을 패턴으로 정리.
$44^2 = 1936$ 과 $45^2 = 2025$ 사이의 정수 $k$ 에 대해서는 $k$ 이하인 제곱수가 정확히 $44$ 개.
따라서 그 구간에서 $k$ 의 순위 $= k + 44$.

$$\text{순위}(k) = k + 44 \quad (1936 \le k \le 2024)$$

💡 4학년 수의 규칙: 이 구간의 모든 정수가 제곱수에서 똑같이 $44$ 칸씩 위로 밀려 올라감.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 4

$2020$ 번째 항 찾기.
$k + 44 = 2020$ 에서 $k = 1976$.
확인: $1976$ 은 정수 리스트에 들어 있고, $1976$ 이하인 정수가 $1976$ 개, 제곱수가 $44$ 개, 합 $2020$.
그러므로 $S_{2020} = 1976$.

$$\text{순위}(1976) = 1976 + 44 = 2020 \;\Rightarrow\; S_{2020} = 1976$$

💡 4학년 다단계 문제: $2020 - 44 = 1976$ 으로 순위 이동을 되돌리기.

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.A.2 단계 5

$2021$ 번째 항 찾기.
다음 후보는 다음 정수 $1977$ (다음 제곱수 $45^2 = 2025$ 보다 작음), 그러므로 $S_{2021} = 1977$.

$$S_{2021} = 1977 \;\; (1977 < 2025 = 45^2 \text{ 이므로})$$

💡 4학년 자연수 크기 비교: $1977 < 2025$, 그래서 $1977$ 이 먼저.

#5 패턴 찾기 6.SP.A.3 단계 6

두 가운데 항의 평균이 중앙값.
$(1976 + 1977) / 2 = 3953/2 = 1976.5$.

$$\text{중앙값} = \frac{1976 + 1977}{2} = 1976.5$$

💡 6학년 중앙값: 짝수 길이 리스트는 가운데 두 항을 평균.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 7

선택지와 매칭: $1976.5$ 는 (C).
나머지($1974.5, 1975.5, 1977.5, 1978.5$)는 제곱수 개수를 하나·둘 잘못 셌을 때 나오는 값.

$$1976.5 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 4학년 크기 비교: $1976.5$ 와 같은 선택지는 하나뿐.

[1] #9 6.SP.A.3 작은 경우부터 손으로: $N=4$. 리스트는 $\{1, 2, 3, 4, 1, 4, 9, 16\}$, 정렬하면 $1, 1, 2, 3, 4, 4,

[2] #2 5.NBT.B.5 작은 케이스에서 본 규칙을 일반화. 정렬된 리스트에서 값 $k$ 의 순위는 "$k$ 이하인 항목의 수". 정수 쪽에서 $k$ 개, 제곱수 쪽에서

[3] #5 4.OA.C.5 세는 규칙을 패턴으로 정리. $44^2 = 1936$ 과 $45^2 = 2025$ 사이의 정수 $k$ 에 대해서는 $k$ 이하인 제곱수가 정확히

[4] #2 4.OA.A.3 $2020$ 번째 항 찾기. $k + 44 = 2020$ 에서 $k = 1976$. 확인: $1976$ 은 정수 리스트에 들어 있고, $1976

[5] #2 4.NBT.A.2 $2021$ 번째 항 찾기. 다음 후보는 다음 정수 $1977$ (다음 제곱수 $45^2 = 2025$ 보다 작음), 그러므로 $S_{2021}

[6] #5 6.SP.A.3 두 가운데 항의 평균이 중앙값. $(1976 + 1977) / 2 = 3953/2 = 1976.5$.

[7] #3 4.NBT.A.2 선택지와 매칭: $1976.5$ 는 (C). 나머지($1974.5, 1975.5, 1977.5, 1978.5$)는 제곱수 개수를 하나·둘 잘못

검토

합리성 확인: 다섯 선택지가 모두 $1976.5$ 근처에 몰려 있는 것 자체가 힌트: 중앙값은 $2020$ 에서 제곱수 개수 $44$ 만큼 "내려간" 정수 부근이어야 함. 답 $1976.5$ 는 $2020$ 보다 정확히 $43.5$ 작고, $44$ 칸 시프트와 연속된 두 정수의 평균에서 오는 반칸 차이까지 모두 설명됨. 크기·부호 모두 합리적.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기 / 여집합): 아래쪽 대신 위쪽을 세기. $2020$ 초과인 제곱수는 $45^2, 46^2, \ldots, 2020^2$, 즉 $2020 - 44 = 1976$ 개. 전체 $4040$ 개 중 $2020$ 초과가 $1976$ 개, $2020$ 이하가 $2064$ 개. 가운데 두 자리 $2020, 2021$ 번째는 모두 "$2020$ 이하" 블록에 들어 있고, 그 블록 위쪽에서 $44$ 칸 떨어진 위치 — 그래서 정확히 $1976, 1977$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰며 부등호로 비교하기 ($1977 < 2025$ 를 비교해 다음 정렬 항을 결정하고, 최종 값을 선택지와 매칭.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 다단계 자연수 문장제 풀기 ($2020 - 44 = 1976$ 으로 순위 $2020$ 인 정수를 복원.)
4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수나 도형의 패턴 만들기 (구간 $[1936, 2024]$ 의 정수 $k$ 에 대해 순위 $= k + 44$ 규칙을 명시.)
5.NBT.B.5 여러 자리 자연수의 곱셈을 능숙하게 수행하기 ($44 \times 44 = 1936$ 과 $45 \times 45 = 2025$ 로 $2020$ 이하 제곱수를 경계 짓기.)
6.SP.A.3 중심 척도(평균·중앙값)가 자료 전체를 하나의 수로 요약함을 이해 (짝수 길이 리스트의 중앙값을 두 가운데 항의 평균으로 정의.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 중앙값만 알면 풀 수 있어요! 비결은: $2020$ 이하인 제곱수는 $1^2$ 부터 $44^2$ 까지 정확히 $44$ 개($44^2 = 1936$ 이지만 $45^2 = 2025$ 는 너무 큼). 그래서 $1936$ 과 $2024$ 사이 정수 $k$ 는 순위가 $k + 44$. $k + 44 = 2020$ 을 풀면 $k = 1976$, 이게 $2020$ 번째 값. $2021$ 번째는 $1977$. 중앙값 $= (1976 + 1977)/2 = \mathbf{1976.5}$, 답 (C).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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