AMC 10 · 2020 · #13

학년 7 geometry-2d

probability-basicsymmetry-argumentcoordinate-geometryrecursive-sequencesystems-of-equations symmetry-argumentcaseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basiccoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

A frog sitting at the point $(1, 2)$ begins a sequence of jumps, where each jump is parallel to one of the coordinate axes and has length $1$ , and the direction of each jump (up, down, right, or left) is chosen independently at random. The sequence ends when the frog reaches a side of the square with vertices $(0,0), (0,4), (4,4),$ and $(4,0)$ . What is the probability that the sequence of jumps ends on a vertical side of the square?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac12$

(B)

$\frac 58$

(C)

$\frac 23$

(D)

$\frac34$

(E)

$\frac 78$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 꼭짓점이 $(0,0), (4,0), (4,4), (0,4)$ 인 정사각형 안의 $(1, 2)$ 에서 개구리가 출발합니다. 매 점프마다 상·하·좌·우 네 방향 중 하나를 각각 $\tfrac{1}{4}$ 확률로 골라 한 칸 이동하고, 정사각형의 변 위에 처음 도착하면 멈춥니다. 멈춘 변이 수직 변($x=0$ 또는 $x=4$)일 확률은?

주어진 것: 출발점 $(1, 2)$; 매 점프는 네 방향 중 하나, 각 방향 확률 $\tfrac{1}{4}$; $x=0,\, x=4,\, y=0,\, y=4$ 중 한 곳에 처음 도착하면 멈춤; 선택지: $\tfrac{1}{2},\; \tfrac{5}{8},\; \tfrac{2}{3},\; \tfrac{3}{4},\; \tfrac{7}{8}$

구하는 것: 수직 변에서 멈출 확률 $P(1,2)$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #15 다르게 정리하기, #3 가능성 지우기

도구 #1(그림): 정사각형 안의 $5 \times 5$ 격자점을 그리고 시작점 $(1, 2)$ 와 네 변을 표시. 도구 #15(다르게 정리): 정사각형의 대칭(반사)을 이용 — $x \leftrightarrow y$ 를 바꾸면 수직 변이 수평 변으로 바뀌므로 $P_V(x,y) = 1 - P_V(y,x)$. 도구 #7(쪼개기): $(1,2)$ 에서 한 번 점프하면 $(0,2), (2,2), (1,1), (1,3)$ 중 하나로 가니까 각 부분 확률을 구한 뒤 전확률 법칙으로 합산. 도구 #3(가능성 지우기): 최종 분수를 다섯 선택지와 매칭.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 1

정사각형 안의 격자점 $5 \times 5$ 를 그리고 시작점 $(1, 2)$ 를 표시 — 왼쪽 변에서 한 칸, 아래 변에서 두 칸 떨어진 자리.
수직 변($x=0, x=4$)과 수평 변($y=0, y=4$)도 표시.

$$\text{시작} = (1, 2),\quad \text{수직 변: } x = 0,\; x = 4$$

💡 5학년 좌표평면: 시작점과 네 변을 표시해 두면 산책 전체가 한눈에.

#15 다르게 정리하기 7.SP.C.7 단계 2

$y = x$ 에 대한 대칭 $(x,y) \mapsto (y,x)$ 을 이용.
이 반사는 수직 변과 수평 변을 맞바꾸므로 "$(x,y)$ 에서 시작해 수직 변에 도달" 확률 $=$ "$(y,x)$ 에서 시작해 수평 변에 도달" 확률.
$P_V + P_H = 1$ 과 합치면 $P_V(x,y) + P_V(y,x) = 1$.
$y = x$ 인 점에서는 $2 P_V(x,x) = 1$ 이므로 $P_V(x,x) = \tfrac{1}{2}$.
따라서 $P_V(1,1) = P_V(2,2) = \tfrac{1}{2}$.

$$P_V(x,x) = \tfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; P_V(1,1) = P_V(2,2) = \tfrac{1}{2}$$

💡 7학년 확률 모델: 두 결과를 맞바꾸는 대칭이 있으면 두 확률은 강제로 $\tfrac{1}{2}$ 씩.

#15 다르게 정리하기 7.SP.C.7 단계 3

반대각선 $y = 4 - x$ 에도 같은 아이디어.
정사각형의 대칭인 $x = 2$ 에 대한 반사 $(x, y) \mapsto (4 - x, y)$ 는 수직 변을 수직 변으로 보내므로 $P_V(4 - x, y) = P_V(x, y)$.
$(3, 1)$ 에 적용하면 $P_V(3, 1) = P_V(1, 1) = \tfrac{1}{2}$.
앞 단계의 $P_V(1,3) + P_V(3,1) = 1$ 과 합치면 $P_V(1, 3) = \tfrac{1}{2}$.

$$P_V(1, 3) = 1 - P_V(3, 1) = 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}$$

💡 7학년 확률: 두 대칭을 잇달아 쓰면 반대각선의 점들도 고정.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 4

$(1, 2)$ 에서의 첫 점프를 네 경우로 분할.
좌 $(0, 2)$, 우 $(2, 2)$, 상 $(1, 3)$, 하 $(1, 1)$ — 각 확률 $\tfrac{1}{4}$.
전확률 법칙: $P(1,2) = \tfrac{1}{4}\big[P(0,2) + P(2,2) + P(1,3) + P(1,1)\big]$.

$$P(1,2) = \tfrac{1}{4}\big[P(0,2) + P(2,2) + P(1,3) + P(1,1)\big]$$

💡 7학년 복합 사건: 첫 점프 결과로 경우를 가르고 각각 $\tfrac{1}{4}$ 로 가중.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.7 단계 5

네 부분 확률을 읽기.
(a) $(0, 2)$ 는 수직 변 $x = 0$ 위 — 즉시 성공, $P(0, 2) = 1$.
(b) $(2, 2)$ 는 주 대각선 위, $P(2, 2) = \tfrac{1}{2}$.
(c) $(1, 3)$ 은 반대각선 위, $P(1, 3) = \tfrac{1}{2}$.
(d) $(1, 1)$ 은 주 대각선 위, $P(1, 1) = \tfrac{1}{2}$.

$$P(0,2) = 1,\;\; P(2,2) = P(1,3) = P(1,1) = \tfrac{1}{2}$$

💡 7학년 확률 표: 변 도달 한 번 + 대각선 $\tfrac{1}{2}$ 세 번.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.2 단계 6

합산: $P(1,2) = \tfrac{1}{4}\big(1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\big) = \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{5}{2} = \tfrac{5}{8}$.

$$P(1,2) = \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{5}{2} = \tfrac{5}{8}$$

💡 5학년 분수 계산: $\tfrac{1}{2}$ 세 개를 $1$ 에 더하고 $4$ 로 나누기.

#3 가능성 지우기 4.NF.A.2 단계 7

$\tfrac{5}{8}$ 을 선택지와 매칭: (B).
다른 값들은 시작점의 비대칭(수직 변 한 칸, 수평 변 두 칸)을 무시했을 때 나오는 값.

$$\tfrac{5}{8} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 4학년 분수 비교: $\tfrac{5}{8}$ 과 같은 선택지는 하나뿐.

[1] #1 5.G.A.2 정사각형 안의 격자점 $5 \times 5$ 를 그리고 시작점 $(1, 2)$ 를 표시 — 왼쪽 변에서 한 칸, 아래 변에서 두 칸 떨어진 자리

[2] #15 7.SP.C.7 $y = x$ 에 대한 대칭 $(x,y) \mapsto (y,x)$ 을 이용. 이 반사는 수직 변과 수평 변을 맞바꾸므로 "$(x,y)$ 에서

[3] #15 7.SP.C.7 반대각선 $y = 4 - x$ 에도 같은 아이디어. 정사각형의 대칭인 $x = 2$ 에 대한 반사 $(x, y) \mapsto (4 - x, y

[4] #7 7.SP.C.8 $(1, 2)$ 에서의 첫 점프를 네 경우로 분할. 좌 $(0, 2)$, 우 $(2, 2)$, 상 $(1, 3)$, 하 $(1, 1)$ — 각

[5] #7 7.SP.C.7 네 부분 확률을 읽기. (a) $(0, 2)$ 는 수직 변 $x = 0$ 위 — 즉시 성공, $P(0, 2) = 1$. (b) $(2, 2)$

[6] #7 5.NF.A.2 합산: $P(1,2) = \tfrac{1}{4}\big(1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\bi

[7] #3 4.NF.A.2 $\tfrac{5}{8}$ 을 선택지와 매칭: (B). 다른 값들은 시작점의 비대칭(수직 변 한 칸, 수평 변 두 칸)을 무시했을 때 나오는 값

검토

합리성 확인: 출발점 $(1, 2)$ 는 가장 가까운 수직 변에서 한 칸, 수평 변에서 두 칸 떨어져 있으므로 답은 $\tfrac{1}{2}$ 보다 살짝 크되 크게 벗어나면 안 됨. 실제 $\tfrac{5}{8} = 0.625$ 는 $\tfrac{1}{2}$ 바로 위 — 한쪽 수직 변에 가까운 정도와 잘 맞는 적당한 우위.

대안 접근: 도구 #6(추측·확인) — 시뮬레이션. $(1, 2)$ 에서 무작위 산책을 백만 번 돌려 $x = 0$ 또는 $x = 4$ 로 끝난 비율을 세기. 백만 번이면 빈도가 $0.625 = \tfrac{5}{8}$ 근방 $0.001$ 안에 안착해 (B) 를 확인. AMC 학생도 머릿속에서 몇 경로만 그려보면 비슷한 감을 잡을 수 있음.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.NF.A.2 분모와 분자가 다른 두 분수 비교하기 (계산된 확률 $\tfrac{5}{8}$ 을 선택지와 매칭.)
5.G.A.2 좌표평면 위의 점으로 실생활·수학 문제 표현하기 ($5 \times 5$ 격자와 네 변을 그리고 시작점 $(1, 2)$ 의 위치를 시각화.)
5.NF.A.2 분수의 덧셈·뺄셈 문장제 풀기 ($\tfrac{1}{4}(1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}) = \tfrac{5}{8}$ 합산.)
7.SP.C.7 확률 모델을 만들고 이를 이용해 사건의 확률 구하기 (정사각형의 반사 대칭으로 두 대각선 위의 점에서 $P_V = \tfrac{1}{2}$ 임을 확정.)
7.SP.C.8 조직적 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (첫 점프로 경우를 가르고 전확률 법칙으로 네 부분을 합산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 확률만 알면 풀 수 있어요! $y = x$ 대칭이 수직 변과 수평 변을 맞바꿔주니까 $(1, 1), (2, 2), (1, 3)$ 같은 대각선 위 점에서는 강제로 $P = \tfrac{1}{2}$. $(1, 2)$ 에서 한 번 점프하면 네 경우 — $(0, 2)$ 는 바로 승리($P = 1$), 나머지 셋은 대각선($P = \tfrac{1}{2}$ 씩). 평균: $\tfrac{1}{4}(1 + \tfrac{3}{2}) = \mathbf{\tfrac{5}{8}}$, 답 (B).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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