AMC 10 · 2020 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

geometric-probabilityarea-circlesspatial-visualizationestimation easier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: geometric-probabilityarea-circles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

A point is chosen at random within the square in the coordinate plane whose vertices are $(0, 0), (2020, 0), (2020, 2020),$ and $(0, 2020)$ . The probability that the point is within $d$ units of a lattice point is $\tfrac{1}{2}$ . (A point $(x, y)$ is a lattice point if $x$ and $y$ are both integers.) What is $d$ to the nearest tenth $?$

$\textbf{(A) } 0.3 \qquad \textbf{(B) } 0.4 \qquad \textbf{(C) } 0.5 \qquad \textbf{(D) } 0.6 \qquad \textbf{(E) } 0.7$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

0.3

(B)

0.4

(C)

0.5

(D)

0.6

(E)

0.7

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 꼭짓점이 $(0,0), (2020,0), (2020,2020), (0,2020)$ 인 큰 정사각형 안에서 점 하나를 무작위로 고릅니다. 격자점은 두 좌표가 모두 정수인 점입니다. 그 점이 어떤 격자점으로부터 거리 $d$ 이내에 있을 확률이 정확히 $\tfrac{1}{2}$ 일 때, $d$ 를 소수점 첫째 자리까지 구하세요.

주어진 것: 큰 정사각형의 꼭짓점은 $(0,0), (2020,0), (2020,2020), (0,2020)$; 격자점은 정사각형 안과 경계의 모든 정수 좌표에 존재; 어느 격자점으로부터 거리 $d$ 이내일 확률 $= \tfrac{1}{2}$; 선택지: (A) $0.3$, (B) $0.4$, (C) $0.5$, (D) $0.6$, (E) $0.7$

구하는 것: 소수점 첫째 자리까지의 $d$ 값

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도구 #9 (더 쉬운 문제): $2020 \times 2020$ 정사각형은 $2020^2$ 개의 $1 \times 1$ 단위 정사각형이 똑같이 반복된 것이고, 네 모서리 격자점 주변 규칙도 모든 칸에서 동일합니다. 따라서 큰 정사각형 대신 단위 정사각형 하나에서 확률을 구하면 됩니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 단위 정사각형 안에서 유효 영역은 네 모서리에 있는 반지름 $d$ 의 사분원 네 개 — 합치면 반지름 $d$ 인 원 한 개의 넓이 $\pi d^2$ 가 됩니다. 도구 #3 (가능성 지우기): $\pi d^2 = \tfrac{1}{2}$ 에서 $d^2 = \tfrac{1}{2\pi} \approx 0.159$ — 다섯 선택지를 제곱해서 $0.159$ 에 가장 가까운 것을 고릅니다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 1

격자점은 완전히 똑같이 반복되는 격자를 이룹니다.
$2020 \times 2020$ 정사각형은 $2020^2$ 개의 단위 정사각형으로 채워진 것이고, "격자점으로부터 거리 $d$ 이내" 라는 규칙은 모든 칸 안에서 똑같이 보입니다.
따라서 큰 정사각형의 확률은 네 꼭짓점이 격자점인 단위 정사각형 하나에서의 확률과 같습니다.

$$P_{\text{big}} = P_{\text{unit}}$$

💡 같은 모양이 끝없이 반복 — 작은 한 칸만 다루면 충분.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

단위 정사각형을 $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$ 에 놓습니다.
중요한 격자점은 네 꼭짓점뿐.
한 꼭짓점에서 거리 $d$ 이내의 점들은 정사각형 안쪽에 사분원 모양으로 들어옵니다 (한 사분원만 들어옴).
네 사분원을 합치면 반지름 $d$ 짜리 온전한 원 하나가 되어, 유효 면적은 $\pi d^2$ 입니다.
($d \le 0.5$ 가정 — 사분원끼리 겹치지 않음)

$$A_{\text{good}} = 4 \cdot \tfrac{1}{4}\pi d^2 = \pi d^2$$

💡 네 모서리의 사분파이를 모으면 온전한 파이 하나.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.RP.A.3 단계 3

확률은 유효 면적을 전체 면적으로 나눈 값.
단위 정사각형의 넓이는 $1$ 이므로 $P = \pi d^2$.
이것을 $\tfrac{1}{2}$ 와 같다고 놓으면 $\pi d^2 = \tfrac{1}{2}$ 에서 $d^2 = \tfrac{1}{2\pi}$.

$$P = \dfrac{\pi d^2}{1} = \tfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; d^2 = \dfrac{1}{2\pi}$$

💡 정사각형 절반이 네 모서리 파이로 덮여야 함.

#3 가능성 지우기 8.NS.A.2 단계 4

$\pi \approx 3.14159$ 이므로 $2\pi \approx 6.283$ 이고 $d^2 \approx \tfrac{1}{6.283} \approx 0.159$.
선택지를 제곱해서 $0.159$ 에 가장 가까운 것을 찾으면: (A) $0.09$, (B) $0.16$, (C) $0.25$, (D) $0.36$, (E) $0.49$.
(B) $0.16 \approx 0.159$ 가 정답 — $d \approx 0.4$.

$$d^2 \approx 0.159 \;\Rightarrow\; d \approx 0.4 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 선택지를 제곱하고 $\tfrac{1}{2\pi}$ 에 가장 가까운 것 고르기.

[1] #9 4.OA.C.5 격자점은 완전히 똑같이 반복되는 격자를 이룹니다. $2020 \times 2020$ 정사각형은 $2020^2$ 개의 단위 정사각형으로 채워진 것

[2] #7 7.G.B.4 단위 정사각형을 $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$ 에 놓습니다. 중요한 격자점은 네 꼭짓점뿐. 한 꼭짓점에서 거리 $d$ 이내

[3] #7 7.RP.A.3 확률은 유효 면적을 전체 면적으로 나눈 값. 단위 정사각형의 넓이는 $1$ 이므로 $P = \pi d^2$. 이것을 $\tfrac{1}{2}$

[4] #3 8.NS.A.2 $\pi \approx 3.14159$ 이므로 $2\pi \approx 6.283$ 이고 $d^2 \approx \tfrac{1}{6.283}

검토

합리성 확인: 크기 감각 확인: $d=0.5$ 면 네 사분원이 딱 맞닿아 넓이 합 $\pi(0.5)^2 \approx 0.785$ — 너무 많음. $d=0.3$ 이면 $\pi(0.3)^2 \approx 0.283$ — 너무 적음. 그 중간인 $d=0.4$ 의 넓이는 $\pi(0.4)^2 \approx 0.503$ 으로 거의 정확히 $\tfrac{1}{2}$. $d \le 0.5$ 가정도 성립 — 사분원이 정말 겹치지 않습니다.

대안 접근: 도구 #6 (추측하고 확인): 각 선택지를 $\pi d^2$ 에 직접 대입해 $0.5$ 와 비교 — $\pi(0.3)^2 \approx 0.28$, $\pi(0.4)^2 \approx 0.50$, $\pi(0.5)^2 \approx 0.79$. $d=0.4$ 가 정확히 목표 적중.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수나 도형의 패턴 만들기 (격자점 격자가 반복되는 패턴을 인식해 큰 정사각형을 단위 정사각형 하나로 축소.)
7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식 알기 (네 모서리 사분원을 모아 반지름 $d$ 인 원의 넓이 $\pi d^2$ 계산.)
7.RP.A.3 비례 관계를 이용해 다단계 비·백분율 문제 풀기 (확률을 면적비 $\pi d^2 / 1 = \tfrac{1}{2}$ 로 놓고 $d^2$ 구하기.)
8.NS.A.2 유리수 근사를 이용해 무리수 크기 비교 ($\tfrac{1}{2\pi} \approx 0.159$ 를 근사하고 선택지의 $d^2$ 와 비교.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 수직선 위 어림 비교만 알면 풀 수 있어요 — 거대한 정사각형을 작은 한 칸으로 줄이고, 네 모서리 사분파이를 모아 온전한 파이로 만들고, 그 넓이를 $\tfrac{1}{2}$ 로 놓으면 $d \approx 0.4$. 답은 $\textbf{(B)}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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